01. Кинематика точки и твёрдого тела. Профильный уровень

Модели тел и движений

На этом уроке мы поговорим о движении.

Грузовик едет со средней скоростью 70 км/час. Сколько времени он потратит на дорогу из одного города в другой, если расстояние между городами 350 км?

Вы решите эту задачу в одно действие, получится 5 часов.

Но для водителя может быть важнее ответ на другой вопрос: сколько времени займёт обгон другого такого же грузовика, который движется со скоростью 60 км/ч, а длина каждого грузовика — 7 м?

Попробуйте решить задачу самостоятельно, ответ получится около 5 с.

Задачи простые, но вот что интересно: в первой нам было вообще всё равно, совершал ли обгоны грузовик, важно было только общее время движения. Мы рассмотрели его как материальную точку, которая движется с постоянной скоростью. А вторую задачу мы бы не решили, не зная длин грузовиков, здесь модель материальной точки уже неприменима.

У нас есть в запасе различные модели — это инструменты, которые мы можем с той или иной степенью точности использовать для решения различных практических задач. Если эта точность нас не устраивает, то мы используем другую модель или разрабатываем новую, например, уточняя текущую. Так, для описания движения в кузове пустого баллона или вибрации двигателя грузовика описанные выше модели не подойдут, понадобятся новые. При этом рассмотренные модели не имеют отношения к грузовику — они могут применяться к автобусу, поезду, бильярдному шару или любому другому объекту. Задачи могут быть самыми разными, но то немногое, что для нас в них является самым важным, может быть описано одной и той же моделью.

Обратите внимание, что в рассмотренных задачах про грузовик нас интересовали только время, скорость и расстояние, которое он проехал. Нам было не важно, как работал двигатель, сколько бензина понадобилось, почему вообще грузовик двигался и тяжелый ли вёз груз.

Решением таких задач занимается кинематика — раздел физики, посвященный моделям движения, которые не учитывают причины движения, а только описывают его.

О задачах кинематики и моделях, которые используются для их решения, мы сегодня и будем говорить.

Рассмотрим такую задачу: с горки известной высоты и известного наклона соскальзывает шайба и скатывается шар (рис. 1, а). На одинаковом ли расстоянии от горки они остановятся? Может оказаться, что не на одинаковом, даже при одинаковом трении с поверхностью (рис. 1, б).

Если использовать модель материальной точки и для шайбы, и для шара, то этот результат необъясним. Действительно, потенциальная энергия перешла в кинетическую — можем вычислить скорость тела внизу горки, а по ней рассчитать расстояние, на котором они оба остановятся.

Чтобы объяснить разные расстояния, нам придётся учесть вращение шара — тогда потенциальная энергия будет расходоваться не только на увеличение кинетической энергии, но и на увеличение энергии вращения шара. В данном случае для шара мы можем применить модель твёрдого тела, в которой различаются поступательное и вращательное движения.

Про эти виды движений мы уже говорили, вспомнить подробнее об этом можно в ответвлении.

Поступательное и вращательное движение

Поступательное движение — это такое движение, при котором все точки тела движутся одинаково: с одинаковой скоростью, совершая одинаковое перемещение (рис. 1).

А как еще может быть? Взмахните рукой и проследите: понятно, что ладонь и плечо двигались по-разному. Посмотрите на колесо обозрения: точки вблизи оси почти не движутся, а кабинки движутся с другой скоростью и по другим траекториям (рис. 2).

Посмотрите на прямолинейно движущийся автомобиль: если не учитывать вращение колес и движение частей мотора, все точки автомобиля движутся одинаково, движение автомобиля считаем поступательным (рис. 3). Тогда нет смысла описывать движение каждой точки, можно описать движение одной. Автомобиль считаем материальной точкой. Обратите внимание, что при поступательном движении линия, соединяющая любые две точки тела при движении, остается параллельной сама себе.

Второй вид движения по этой классификации — вращательное движение. При вращательном движении все точки тела движутся по окружности вокруг определённой оси. Эта ось может пересекать тело, как в случае с колесом обозрения, а может не пересекать, как в случае с автомобилем на повороте (рис. 4).

Но не любое движение можно отнести к какому-то одному из двух видов. Как описать движение педалей велосипеда относительно земли (рис. 5) — это какой-то третий тип? Наша модель удобна тем, что можно рассматривать движение как комбинацию поступательного и вращательного движений: относительно своей оси педали вращаются, а ось вместе со всем велосипедом движется поступательно относительно земли.

Возьмем другой пример: фигуристка вращается на месте, и когда она прижимает руки к груди, она начинает вращаться значительно быстрее (видео). О том, почему так происходит, можно узнать в ответвлении.

Момент инерции

Как узнать, варёное перед нами яйцо или сырое? Можно это определить по вращению. Нужно раскрутить яйцо на столе: варёное будет долго вращаться, а сырое остановится быстрее. Как это объяснить? Для описания вращательного движения ввели понятие момента инерции. Можно провести аналогию с массой.

Масса — это мера инертности при поступательном движении: чтобы разогнать или остановить более тяжёлое тело, потребуется бóльшая сила, чем для более лёгкого тела (рис. 1). Для момента инерции справедливо то же самое рассуждение, только описывается вращательное движение и угловая скорость. Кинетическая энергия вращательного движения определяется моментом инерции и угловой скоростью.

Возвращаемся к вращению яйца. У сырого яйца во вращении участвует по сути только скорлупа, её момент инерции меньше, чем момент инерции вареного яйца — сплошного твёрдого тела. Поэтому и энергия вращения — а значит и время вращения — меньше. Мы не учли, что жидкость внутри сырого яйца вязкая и тоже каким-то образом движется, но мы и не делаем точных расчётов, а для сравнения такого предположения достаточно.

Рассмотрим в рамках нашей модели вращение фигуристки (рис. 2). Момент инерции зависит от распределения массы — чем она ближе к оси вращения, тем меньше момент инерции. Прижимая руки к груди, фигуристка меняет распределение массы, и момент инерции уменьшается. И из закона сохранения энергии понятно: если уменьшился момент инерции, увеличилась скорость.

Мы иногда и не замечаем, как используются модели: фигуристка умеет управлять моментом инерции, даже не зная о нём. Задача физики — создать модель, чтобы можно было управлять им осознанно. Тогда можно посчитать, как управлять моментом инерции, поставить задачу компьютеру, чтобы он всё рассчитал.

В целом ясно, что энергия одного вида движения превращается в энергию другого, и это нельзя описать, считая фигуристку материальной точкой. Как материальная точка она вообще неподвижна.

Как это вращение описать? Удобно использовать то, что уже хорошо разобрали. Обычно, чтобы описать движение тела, достаточно описать движение нескольких его точек, а для описания движения у нас есть готовые инструменты. Например, для катящегося с горки шара можно рассматривать движение одной из точек поверхности относительно центра шара и движение центра шара относительно горки.

Инструменты кинематики

Итак, несколько моделей в нашем наборе инструментов уже есть: это равномерное и равноускоренное прямолинейное движение материальной точки, а также равномерное движение по окружности. И некоторые задачи мы уже умеем решать.

На уроках математики мы успели овладеть новыми математическими инструментами, такими как вектор и система координат, с помощью которых мы можем создать более удобные физические модели и решать с их помощью больше задач. Давайте упорядочим информацию о тех инструментах кинематики, которые у нас уже есть, и заодно научимся пользоваться новыми.

Договоримся, что пока мы говорим только о движении материальной точки, её определение: «Материальная точка — это обладающее массой тело, размерами, формой и структурой которого в данной задаче можно пренебречь». Под точкой мы здесь понимаем то же, что и в геометрии: дать определение точке нельзя, это базовое понятие, но мы можем сформулировать, чтó мы с её помощью будем описывать — объект, на размеры которого мы при решении данной задачи можем не обращать внимания, но на положение которого мы можем указать. Только в отличие от точки в геометрии, в физике мы ей приписываем еще и массу.

Обратите внимание, что само по себе выражение «материальная точка» — оксюморон (как, например, «живой труп»). Действительно, сама по себе точка не может быть материальной, у неё нет длины и ширины: мы в принципе не можем на неё указать. Но в этом и заключается смысл модели — не существовать в реальности, а приближать с достаточной точностью множество реальных ситуаций и помогать их описывать.

Мы говорим о движении, то есть об изменении положения точки со временем. Но изменение положения может быть только относительно других объектов. В жизни, чтобы обозначить положение чего-либо, мы говорим: возле окна, в десяти километрах от города. Можем указать адрес: улица Пушкина и номер дома и квартиры. Можем указать место в театре: ряд 7, место 15. В зависимости от задачи, которую мы решаем, мы выбираем точку отсчёта и систему координат (посмотрите урок по ссылке «О системе отсчёта»).

Воспользуемся уже готовым математическим инструментом — декартовой (прямоугольной) системой координат.

Но система координат позволяет задать положение точки относительно какого-нибудь объекта, то есть нужно еще задать этот объект — тело отсчёта. Добавим к системе координат и телу отсчёта часы, чтобы рассматривать процессы с течением времени, и получим систему отсчёта (рис. 2).

Раздел физики, механика, занимается решением следующей задачи, которая так и называется: основная задача механики — точно определять положение тела в пространстве в любой момент времени. В этой стандартной формулировке все слова следует пояснить.

Во-первых, абсолютно точно мы в реальном мире ничего не определяем. Точность всегда конечна: иногда нас устраивает определить положение чего-то с точностью до метра, иногда — до миллиметра, а ведь можно и до десятой, и до тысячной доли миллиметра — на чём-нибудь всё равно остановимся. И, как мы уже много раз говорили, точность определяется конкретной задачей, которую мы сейчас решаем.

Во-вторых, для тела можно использовать разные модели; мы договорились изучать модель материальной точки.

А в-третьих, нас, конечно, не интересует любой момент времени, нас интересует конкретный период в рамках решаемой задачи. Если автомобиль едет с постоянной скоростью 70 км/ч, то через 5 часов он будет в 350 километрах от начала пути. В решение мы действительно можем подставить любое время и получить ответ: за 10 часов автомобиль проедет 700 км, а за месяц обогнёт земной шар. Только эти результаты лишены смысла: автомобиль не будет ехать дальше пункта назначения и уж тем более плыть во время кругосветного путешествия по океану.

На математическом языке основная задача механики звучит так: определить положение точки в пространстве в данной системе отсчёта, описав изменение её координат ,, от времени: то есть найдя функции ,,.

Зададим положение точки в пространстве с помощью вектора, чуть позже мы увидим, почему это удобно.

Рассмотрим для простоты точку на плоскости с координатами — в пространстве будет то же самое, только на одну координату больше, . Проведем вектор из начала координат в эту точку, и мы получим радиус-вектор — обозначим его — с координатами.

Положение точки в любой момент времени определяется зависимостью радиус-вектора  от времени (рис. 3).

Зависимость положения материальной точки от времени называют её законом движения. Можно задать положение точки в виде координат, и эти координаты зависят от времени: , (и, если в пространстве, то ещё ). Это будет закон движения в координатной форме. Можно записать закон движения в векторной форме,. Причём проекции вектора на оси координат  и — это и будут координаты точки ,, и для них мы записали, как они изменяются со временем,,. Так мы легко переходим от одной формы к другой.

Точка движется, меняет положение. Вы помните, что если последовательно соединить все положения материальной точки в процессе её движения, то получим кривую, которую назвали траекторией. Длина участка траектории называется путь, а если соединить отрезком начальную и конечную точки движения, то получим перемещение (рис. 4). О разнице между путём и перемещением мы в младших классах говорили подробно; сейчас на этом останавливаться не будем, фрагмент соответствующего урока вы можете посмотреть по ссылке («Кинематика»).

У нас тогда не было удобной модели, чтобы описать перемещение. Мы говорили о нём как об отрезке, который имеет направление, и это направление мы обозначали знаком плюс или минус — мы рассматривали движение вдоль одной прямой, и этого было достаточно, так как при движении вдоль прямой возможны всего два направления (рис. 5).

Мы можем строго определить перемещение как вектор, проведённый из начального положения материальной точки в конечное (рис. 6). А в другом обозначении — проведённый из конца радиус-вектора  в конец радиус-вектора . Такой вектор — это вектор разности радиус-векторов:

.

Используя свойства векторов, можно получить связывающее их уравнение:

.

Если найти проекции радиус-векторов и перемещения на оси координат, получим то, что мы записывали для движения вдоль одной оси (рис. 7).

Проекции вектора перемещения  равны разностям проекций радиус-векторов:

;

.

Как видите, проекция перемещения — это скаляр, равный разности координат точки. А знак скаляра соответствует направлению составляющей вектора перемещения: параллельной оси или , их вы видите на рисунке 7.

Модуль перемещения можно найти, как и модуль любого вектора, по его координатам:

.

Если вектор перемещения параллелен одной из осей, например, х (рис. 8), то составляющая , тогда:

.

Равномерное и равноускоренное движение

Мы заново ввели понятие перемещения, используя удобные универсальные инструменты, сделав его тоже более удобным и универсальным. Теперь посмотрим, как в нашу модель вписываются понятия скорости и ускорения, которые мы ввели раньше.

Мы различали путевую скорость и скорость по перемещению. Это соответственно путь, пройденный точкой за единицу времени, и перемещение, совершенное точкой за единицу времени («Кинематика»).

Чаще всего, говоря о скорости, мы подразумеваем скорость по перемещению: это отношение перемещения точки к промежутку времени, за который это перемещение произошло (рис. 9).

.

Это вектор перемещения, умноженный на скаляр , поэтому по направлению скорость и перемещение совпадают.

Такое определение скорости, по сути, означает среднюю скорость, с которой тело двигалось на протяжении интервала времени . Мы точно не знаем, как изменялась скорость и каким было перемещение на разных частях этого промежутка. Но разделив всё перемещение на этом промежутке на всё время , мы получаем, что в среднем точка перемещалась каждую секунду на некоторое расстояние в данном направлении. Если в нашей модели скорость меняется, то нужно взять настолько короткий промежуток , чтобы можно было считать, что скорость не успевает измениться (рис. 10).

В математике ввели модель:  стремится к нулю, . Среднюю скорость на таком малом промежутке назвали мгновенной (очень короткий промежуток времени часто называют мгновением). Математическая запись всего, что мы указали, выглядит так:

.

Мы рассматриваем две простейших модели: когда скорость постоянна и когда скорость меняется равномерно.

Если скорость постоянна (а скорость — вектор), это значит, что она не меняется ни по направлению, ни по модулю. Значит, в формулу для скорости можно подставлять любой промежуток времени.

Будем считать начало наблюдения моментом , а время, прошедшее с этого момента, обозначим просто . За это время перемещение равно:

.

Тело переместилось из начального положения, соответствующего радиус-вектору , в некоторое положение, которое нас интересует в момент времени t (рис. 11).

Запишем:

;

.

Получили закон движения в случае равномерного прямолинейного движения.

Следующая модель — скорость равномерно меняется (рис. 12).

За равные промежутки времени  изменение скорости одинаково и равно . Чтобы описывать скорость изменения скорости, мы ввели величину — ускорение. В общем случае скорость может меняться неодинаково в разные промежутки времени, и есть смысл ввести понятие мгновенного ускорения, взяв изменение скорости за короткий промежуток времени:

.

Но если говорить о равноускоренном движении, то ускорение одинаково на любом промежутке времени, и среднее ускорение  за любое время  одинаково. Если считать, что — это изменение скорости от некоторого нулевого значения  в момент времени  до интересующего нас значения в момент времени (рис. 13), то можем записать закон изменения скорости:

.

Уравнение равноускоренного движения мы уже выводили для движения вдоль одной оси, и получили известную вам формулу (ссылка):

.

Это уравнение справедливо в проекции на каждую ось координат, и в векторной форме оно будет выглядеть похоже:

.

Уже известный нам закон сложения скоростей тоже можно записать в векторной форме. Напомним, он используется при переходе из одной системы отсчёта к другой (ответвление «Переход от одной системы отсчета к другой»). Пусть есть тело, которое движется в системе отсчёта, которая сама движется относительно Земли (рис. 14).

Скорость такого тела относительно Земли равна:

.

Мы теперь не привязаны к конкретной координатной оси.

Если дана точка, которая движется из этой точки (рис. 15) с некоторой начальной скоростью, а ускорение имеет другое направление, такую задачу мы тоже можем решить. Применяем к точке наши уравнения в векторном виде, записываем их в проекциях на координатные оси, а в проекциях уравнения такие же, как для прямолинейного движения.

Если точка движется прямолинейно, модель тоже работает. Мы можем выбрать систему координат так, чтобы одна из осей координат была параллельна направлению движения. Тогда записанное изначально в векторном виде уравнение в проекции на одну ось даст простой одномерный случай, а в проекции на остальные оси получится уравнение , на которое можно не обращать внимания.

Решение задач. Закон сложения скоростей

Потренируемся и решим несколько задач.

Задача 1. Два автомобиля находятся на расстоянии 625 км и движутся навстречу друг другу. Первый автомобиль движется равномерно со скоростью , а второй начал двигаться со скоростью  и каждый час увеличивал скорость на 10 км/ч. Через какое время и на каком расстоянии от начального положения первого автомобиля они встретятся?

Анализ условия. В задаче описано равномерное движение одного автомобиля и равноускоренное движение второго. Это как раз те модели, которые охватывает наше уравнение:

.

Выберем систему координат и будем описывать эти движения математически.

Физическая часть решения задачи. Выберем систему отсчёта: рассмотрим движение автомобилей относительно земли. Так как автомобили движутся друг другу навстречу вдоль одной прямой, удобно направить одну из осей вдоль этой прямой. Начало координат для удобства поместим в начальное положение первого автомобиля, оттуда отсчитывается расстояние до места встречи, как показано на рисунке (рис. 16).

Запишем закон движения для каждого автомобиля

;

.

В проекции на ось :

;

.

В выбранной системе координат у первого автомобиля начальная координата  равна нулю, проекция ускорения  равна нулю, и их мы можем убрать из уравнения; проекция начальной скорости равна . Начальная координата второго автомобиля  в этой системе координат равна 625 км, проекция его начальной скорости  равна . Минус означает, что скорость направлена против оси координат. А проекция ускорения  равна . По условию задачи понятно, что скорость по модулю возрастала, значит, ускорение сонаправлено со скоростью, то есть направлено тоже против оси , поэтому знак проекции ускорения — минус.

В момент встречи  автомобили находятся в одной точке, их координаты равны, запишем это:

.

Получили систему уравнений, в которые осталось подставить значения и решить. С математической частью решения вы можете ознакомиться в ответвлении.

Математическая часть решения задачи 1

Запишем систему уравнений сразу с числами.

Значения у нас указаны в одной системе, расстояния в километрах, время в часах, скорость в километрах в час и т. д., поэтому мы позволили себе не переводить их в СИ. Просто получим ответ в той системе, которая дана в условии задачи.

Итак, подставим координаты автомобилей в момент встречи в третье уравнение:

.

Получили квадратное уравнение, решим его:

.

Разделим обе части уравнения на 5:

.

Получим два корня уравнения:

;

.

Что означает момент времени? Это момент времени за 25 ч до начала наблюдения, но в момент  движение только началось, поэтому нас этот момент не интересует. Оставляем одно решение: .

Осталось найти расстояние от начального положения первого автомобиля до места встречи, то есть координату места встречи (рис. 1).

В момент  оба автомобиля находятся в одной точке, поэтому можно найти координату любого из них. Возьмем уравнение движения первого автомобиля:

,

.

Задача решена.

Задача 2. Камень бросили вертикально вверх с начальной скоростью 12 м/с. Определите максимальную высоту, на которую поднимется камень. Ускорение свободного падения считайте равным .

Анализ условия. В задаче описано движение камня, когда на него не действует ничего кроме силы тяжести (о трении воздуха в задаче не сказано, им пренебрегаем). В таких условиях тело движется с постоянным ускорением — ускорением свободного падения, направленным вниз.

Используем уравнение равноускоренного движения:

.

Уравнение для скорости тоже может пригодиться, запишем:

.

Физическая часть решения задачи. Выберем систему координат. Давайте направим ось  вертикально вверх, в направлении движения камня, а начало координат поместим в точку броска (рис. 17).

Оси и будут расположены в горизонтальной плоскости, проекции на них будут равны нулю, поэтому о них можно даже не упоминать.

Тогда в проекции на ось  уравнения примут вид:

,

.

Начальная координата тела равна нулю, мы её сразу не записали. Начальная скорость по условию задачи равна 12 м/с и направлена вдоль оси координат. Ускорение свободного падения направлено против оси координат, поэтому его проекция  в данной системе координат равна .

Максимальная высота , на которую поднимется камень, — это его координата  в той точке, в которой он остановится и начнет падать обратно. Мы не знаем момент времени t, в который камень там окажется, чтобы обойтись первым уравнением, поэтому будем использовать второе. В точке  камень остановится, то есть его скорость  станет равна нулю. Перепишем уравнения и решим систему.

Решение системы вы можете проследить в ответвлении.

Математическая часть решения задачи 2

Найдём из второго уравнения время , за которое камень долетит до верхней точки траектории:

.

Подставим время в первое уравнение:

.

Получили ответ, осталось подставить численные значения:

.

Задача решена.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Задача 3 (Профильный уровень)

Решим задачу, в которой тот же камень бросают с той же начальной скоростью, только не вертикально вверх, а под углом к горизонту.

Задача 3. Камень бросили с начальной скоростью 12 м/с под углом  к горизонту. Определите, на каком расстоянии от точки броска упадет камень. Определите максимальную высоту подъема камня (рис. 18).

Анализ условия. В задаче описано движение камня с ускорением свободного падения. Оно описывается всё теми же уравнениями:

;

.

Физическая часть решения задачи. Выберем систему координат. Камень в данной задаче уже не движется вдоль прямой. Одну ось координат направим вертикально вверх, а вторую — горизонтально, в направлении, куда полетит камень (рис. 19).

Запишем наши уравнения в проекциях на выбранные оси координат.

В проекции на ось .

Начальная координата камня равна нулю, проекция ускорения на горизонтальную ось равна нулю, ускорение направлено перпендикулярно этой оси. Поэтому запишем:

;

.

Получили уравнения для равномерного движения со скоростью, которую можно найти, зная угол :

.

Запишем уравнения в проекции на ось .

;

.

Проекция начальной скорости на ось равна:

.

А проекция ускорения свободного падения , поскольку ускорение направлено противоположно оси , равна ; запишем это как .

Перепишем уравнения:

;

;

;

.

На этом физическая часть закончилась, из этих уравнений можно математически получить всё, что нам нужно.

Мы получили в проекции на ось x уравнения для равномерного прямолинейного движения, а на ось y — для равноускоренного. Сложное на первый взгляд движение, при котором скорость и ускорение направлены под углом друг к другу, в то время как этот угол меняется, свелось к двум простым составляющим. Как можно представить проекцию? Представим, что вы поставили два экрана — горизонтальный и вертикальный (рисунок) — и светите на камень сначала одной лампой, чтобы свет падал вертикально вниз на горизонтальный экран, а затем другой, чтобы тень падала на вертикальный экран (рис. 20). Мы увидим, что с одного ракурса камень действительно движется равномерно прямолинейно, а с другого — равноускоренно, как если бы его бросили вертикально вверх.

Движение камня можно представить как сумму двух простых составляющих, и это удобный приём: камень совершает движение, будто его бросили вертикально вверх, и одновременно с этим смещается в сторону. Так же выглядела бы траектория камня, который подбросили вертикально вверх в равномерно движущемся поезде, для наблюдателя на перроне.

Вернемся к решению задачи.

Нам нужно найти, на каком расстоянии от места броска (то есть от начала координат) камень приземлится. Что значит «приземлится»? Значит его координата в этот момент равна нулю, он снова на уровне земли. А координата в этот же момент — это и будет дальность полета. Перепишем уравнение для координаты :

.

Найдём время :

.

Получили два корня:

;

.

Первый корень показывает, что в момент времени , то есть в момент броска камень действительно был на уровне земли, но нас интересует второй такой момент, . Найдём координату  в этот момент:

.

Можем уже подставлять значения и вычислять результат, а можем упростить выражение. Из тригонометрии вспомним, что . Тогда:

.

Вычислим:

.

А максимальную высоту найдите самостоятельно, как мы это делали в предыдущей задаче, из уравнений  и .

Границы применимости моделей

Мы рассмотрели две модели движения: с постоянной скоростью и постоянным ускорением. И это всё, других моделей быть не может? Нет, это не всё, но это самые простые модели, которые мы можем использовать для приближённого описания реального движения и решения конкретных задач.

Сейчас мы говорим о кинематике и не упоминаем причины движения, но вам знаком второй закон Ньютона: – ускорение пропорционально силе, действующей на тело (или в нашем случае на материальную точку). Часто мы можем считать, что силы уравновешены, тогда движение равномерно, или что силу можно считать постоянной, тогда движение равноускорено.

А что если сила равномерно изменяется? Например, когда мы едем на автомобиле и равномерно усиливаем нажатие на педаль газа. Тогда можно дополнить модель: ускорение равномерно увеличивается, можно ввести скорость изменения ускорения  и вывести новые формулы. Получим еще одну модель — всего одну из множества, которые еще можно придумать. Профессиональные гонщики, которым на соревнованиях важны доли секунды, сталкиваются с описанной нами задачей, и конструкторы их автомобилей научились рассчитывать описанную модель разгона. Но мы этого делать не стали, потому что с такими задачами сталкиваемся редко.

Чаще возникают задачи, процессы в которых можно описать как равномерное движение по окружности (рис. 21).

Это простая модель: скорость в ней не меняется по модулю, а меняется только по направлению. А окружность можно описать одним параметром: радиусом. Поэтому такое движение достаточно легко описать, вывести для него формулы, и решать с их помощью множество задач.

Мы ранее уже подробно разобрали движение материальной точки по окружности, научились вычислять ускорение, которое при равномерном движении по окружности всегда направлено к центру этой окружности и не меняется по модулю. Дополнять эту модель мы сегодня не будем, но задачи о таком движении ещё порешаем, поэтому те, кто забыл, — освежите в памяти этот урок по ссылке.

Иногда и этого недостаточно: возникают задачи, в которых ускорение всё время меняется и по модулю, и по направлению. Мы пытаемся найти в них закономерности, один из таких примеров — колебательное движение. В случае с гармоническими колебаниями модуль ускорения пропорционален отклонению тела от положения равновесия (рис. 22).

Список моделей может пополняться по мере возникновения перед человеком тех или иных задач, решение которых в рамках уже разработанных моделей окажется недостаточно точным и будет слишком сильно отличаться от реальности.

У любой модели есть границы применимости. Модель — это упрощение, которое справедливо только для описания ограниченного круга задач. К примеру, основная задача механики — описание движения материальной точки в пространстве с течением времени.

А ведь само пространство, для которого справедливы законы геометрии — это идеализированная модель. И время, как мы его в этой модели представили, — тоже идеализация. Оказалось, что при скоростях, близких к скорости света, нельзя считать, что в разных системах отсчёта время течет одинаково и пространственные меры не меняются. Эти эффекты стала изучать релятивистская механика, они выходят за границы применимости нашей первой модели, которую назвали классической механикой.

Модель классической механики также неприменима к объектам, размеры которых меньше одного нанометра — это больше размеров атомов; самый большой атом, атом цезия, имеет размер примерно 0,2 нм. В таких масштабах к объектам неприменимы понятия координаты, точного положения и другие. Такие малые объекты изучает квантовая механика. С ней мы познакомимся позже.

Наш урок на этом окончен, спасибо за внимание!

Список рекомендованной литературы

1. Яворский Б. М., Пинский А. А. Основы физики. Учебник. Том 1. Механика. Молекулярная физика. Электродинамика. М.: Физматлит, 2017.

2. Касьянов В. А. Физика 10 класс. Учебник. Углубленный уровень. ФГОС. М.: Дрофа, 2021.

3. Физика. 10 кл.: учебн. для общеобраз. учрежд. и школ с углубл. изучением физики: профильный уровень.  Под ред. А. А. Пинского, О. Ф. Кабардина. 13 изд-е. М.: Просвещение, 2011.

4. Тихомирова С. А., Яворский Б. М. Физика. 10 класс. Базовый и профильный уровни. М.: Мнемозина, 2012.

5. Мякишев Г. Я., Буховцев Б. Б., Сотский Н. Н. Физика 10. М.: Просвещение, 2008.

6. Балашов М. М., Гомонова А. И., Долицкий А. Б.  и др. Физика: Механика 10. М.: Дрофа, 2004.

7. Генденштейн Л. Э., Дик Ю. И. Физика 10 класс. М.: Мнемозина, 2014.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «Открытая физика» (Источник)

2. Интернет-портал «Открытая физика» (Источник)

3. Интернет-портал «Открытая физика» (Источник)

4. Интернет-портал «Открытая физика» (Источник)

5. Интернет-портал «Открытая физика» (Источник)

6. Интернет портал «Youtube» (Источник)

7. Интернет-портал «Класс!ная физика» (Источник)

Домашнее задание

1. Напишите уравнение траектории движения материальной точки на плоскости и найдите скорость точки через 2 с после начала наблюдения, если зависимости координат от времени имеют вид ,.

2. Две капли падают из крана одна вслед за другой с интервалом времени 1,5 с. Как движется вторая капля в системе отсчёта, связанной с первой каплей, после отрыва её от крана? Чему равна проекция скорости второй капли относительно первой на направление движения капель через 0,8 с (после отрыва второй капли)? Как изменится результат, если рассматривать движение первой капли в системе отсчёта второй?

3. От А к В по реке отправляется лодка со скоростью относительно воды. Навстречу лодке одновременно с ней от В к А отправляется катер со скоростью относительно воды. За время движения лодки от А к В катер успевает дважды пройти туда и обратно и прибывает в В одновременно с лодкой. Какова по величине скорость течения реки (в км/ч)?

4. Два камня  брошены вертикально вверх из одной и той же точки с одинаковой скоростью с промежутком времени . Через какое время от момента броска второго камня они встретятся?

5. Футболист ударил мяч и тот, полетев под углом к горизонту с земли, упал на землю со скоростью 20 м/с. Чему равна дальность полёта мяча, если известно, что во время движения его максимальная скорость была вдвое больше минимальной?