10. Гидравлический пресс. Сообщающиеся сосуды (Д. М. Побединский)

Введение

Можно ли поднять машину одним пальцем? Можно, например, воспользоваться рычагом:

Правда, при этом мы совершим большее перемещение, чем перемещение груза, но зато хватит усилия, которое может создать наша рука.

Оказывается, можно сделать что-то наподобие жидкого аналога рычага. Если соединить два цилиндрических сосуда с водой и накрыть воду поршнями, то на более широкий поршень можно положить тяжелый груз, и поднять его можно будет, прикладывая небольшую силу к узкому поршню:

Сообщающиеся сосуды

Для жидкостей выполняется закон Паскаля – давление в жидкостях передается одинаково во всех направлениях. То есть можно “надавить” в одном месте жидкости и это давление передастся во всех направлениях. Вы это используете каждый день, даже не задумываясь: надавливаете на тюбик с зубной пастой в одном месте, давление передается во всех направлениях, и паста выходит из тюбика.

Возьмем два одинаковых стакана, в стенках которых есть небольшие клапаны, чтобы можно было их соединять. Нальем в стаканы одно и то же количество воды. Масса воды одна и та же, значит, на дно стаканов будет действовать одна и та же сила. У стаканов одинаковые площади оснований, значит и давление на дно будет одно и то же. Его можно вычислить: на дно давит гидростатическое давление жидкости , вызванное силой тяжести, которая действует на воду. Стаканы открытые, поэтому на воду давит атмосфера. И по закону Паскаля жидкость передает это внешнее давление .

Соединим стаканы тонкой трубкой и откроем клапаны:

Теперь, вода в стаканах будет сообщаться - отсюда и название сообщающиеся сосуды.

Трубку считаем очень тонкой, то есть в неё затечет так мало воды, что не повлияет на уровень воды в стаканах. Давление слева и справа от трубки одинаковое, сила давления на жидкость в трубке слева и справа одинаковая – а это и есть условие равновесия.

Здесь сравнивать давления намного удобнее, чем силы. Если давления слева и справа одинаковые, то и силы одинаковые, потому что площадь сечения трубки одна и та же.

Дольем в левый стакан воды. Давление слева увеличится, а значит, сила давления слева будет больше силы давления справа. Жидкость придет в движение и будет переливаться из левого в правый стакан.

Прекратится движение, когда давления снова будут равны, и жидкость установится на одном уровне.

Еще один взгляд на сообщающиеся сосуды

Почему в сообщающихся сосудах, в которые налита одна жидкость, уровень жидкости один и тот же? Это можно объяснить равенством давлений. Вода будет перетекать из одного сосуда в другой, пока давления не уравновесятся, а это произойдет при одинаковом уровне жидкости в сосудах.

Возьмем стакан. Будем его наклонять – уровень воды во всем стакане будет один и тот же. А теперь в центр стакана погрузим какое-нибудь тело. Это не помешает поверхности воды оставаться горизонтальной, это же уровень воды в одном сосуде:

И если вместо пальца погружать в воду всё более крупные тела, ничего принципиально не изменится. Нас по-прежнему не удивляет, что уровень воды в разных частях стакана будет оставаться одним и тем же, пока тело-перегородка будет оставлять просвет для перетекания воды между частями стакана (рис. 2). А это и есть сообщающиеся сосуды.

Что будет, если стаканы не одинаковые? Или мы их соединим по-другому? Или изменим форму сосудов и возьмем их больше двух? Или может заменим воду, на спирт, ртуть или любую другую жидкость?

Результаты будут те же: в сообщающихся сосудах жидкость будет устанавливаться на одинаковом уровне. Ведь чтобы жидкость покоилась, нужны одинаковые давления. Атмосферное давление на все открытые сосуды одинаковое. А гидростатическое давление  будет одинаковым, если высота жидкости будет одинаковой.

Например, в строительстве часто нужно следить за горизонтальностью линий, чтобы все точки, например, стены, полки или натяжного потолка, были на одном уровне. Если взять длинную гибкую трубку и налить в нее воды, то в разных концах установится один и тот же уровень воды, как бы мы ни разместили трубку:

На этот уровень и можно ориентироваться.

Если вода в одной части сообщающихся сосудов будет выше, чем в другой, то она начнет переливаться.

Устройство водопровода

Внутри водонапорных башен практически во всю высоту находится большой резервуар с водой. Он соединен водопроводом со всеми домами в округе (рис. 1). По сути, резервуар с водой и водопровод каждого дома – это сообщающиеся сосуды. Поскольку башня очень высокая, то уровень жидкости в резервуаре всегда выше, чем в любом из кранов. А в точке ниже уровня воды возникает гидростатическое давление :

Это давление и заставляет воду выливаться из крана, если его открыть. И как только вода выливается из крана, что должно привести к снижению уровня воды в водопроводе, она перетекает в дом из водонапорной башни до выравнивания уровней.

Для высотных многоэтажек система с водонапорной башней не подходит. Во-первых, проблематично построить такую высокую башню, чтобы уровень воды в ней поддерживался выше самого высокого здания. А во-вторых, даже если бы такую башню построили, в нижней части этой системы под большим столбом воды давление было бы огромным. Поэтому в высоких зданиях работает система насосов с промежуточными резервуарами на этажах, которые выполняют роль водонапорных башен.

Задача 1

Рассмотрим задачу, когда жидкости будут разные. Пусть в сообщающиеся сосуды налита вода. В правый стакан доливают небольшой столб масла высотой . Причем так, чтобы была четкая граница раздела жидкостей и они не смешивались:

Условие покоя жидкости всё то же: одинаковые давления в разных частях сосуда. В левом стакане давление создает атмосфера и вода:

В правом давление создает атмосфера, вода и масло:

.

Давления равны, значит:

или

Атмосферное давление сократилось. Поэтому при решении подобных задач его можно не учитывать, если оба конца сосуда открыты. Если же одна часть сосуда закрыта, то на жидкость в ней не будет давить атмосфера. В таких случаях необходимо учитывать атмосферное давление в открытой части сосуда и давление газа в закрытой. Конечно, если этот газ там есть.

Ртутный барометр

Рассмотрим ситуацию, когда один из стаканов плотно накрыли крышкой. Изменится ли уровень жидкости? Нет, не изменится. В закрытом стакане по-прежнему остался воздух, который давит с атмосферным давлением. Если откачать воздух, тогда в одной части сосуда давление будет создавать жидкость и атмосфера, в другой – только жидкость:

Атмосферное давление не сокращается, поэтому его необходимо обязательно учитывать.

С помощью сообщающихся сосудов с одним закрытым концом можно измерить атмосферное давление. Существуют соответствующие приборы – ртутные барометры:

В открытой части барометра давит атмосферное давление и ртуть в “ванночке” высотой . В закрытой части сосуда давит только столбик ртути . Давления равны, поэтому

Измерив высоту столба ртути над уровнем “ванночки” , можно вычислить атмосферное давление.

Обратим внимание на полученную формулу (). В левой части стоит давление воды высотой . В правой части – давление масла высотой :

Видим, что полученная формула показывает равенство давлений выше некоторого уровня.

Получается, ниже данного уровня у нас только вода, находящаяся в равновесии, а над ней находятся столбец масла и столбец воды, которые оказывают одинаковые давления: для этого высота столба масла должна быть больше, у него меньше плотность.

Задача может быть сформулирована по-другому. Например, масла будет достаточно много, и оно будет находиться на дне сосудов. Или это могут быть другие жидкости. Или в сосудах будет больше двух жидкостей. В каждом из этих случаев мы всё равно сможем применить аналогичные рассуждения и так же просто всё решить:

Каждый раз мы делаем одно и то же: записываем, что давления, создаваемые обеими частями сообщающихся сосудов, равны.

А дальше могут быть варианты. Если сосуды открыты, мы можем не рассматривать атмосферное давление, оно будет одно и то же в обеих частях сосуда. Можем выбрать уровень, ниже которого жидкость однородна: там с обеих сторон будет два столбца одной и той же жидкости одинаковой высоты, в уравнении их давления сократятся. Дальше остается рассматривать равенство давлений жидкостей выше этого уровня.

Решим задачу: в одно колено сообщающихся сосудов с водой долили масло, высота столба масла .

Найти разность установившихся уровней жидкости.

Решение задачи

В задаче описаны сообщающиеся сосуды. Жидкость находится в равновесии, запишем равенство давлений:

Слева давление оказывает столбик воды под пунктиром (), столбик воды над пунктиром () и атмосферное давление . Справа давление оказывает столбик воды под пунктиром (), столбик масла  и атмосферное давление . Запишем:

Из таблицы плотностей: , .

Выразим :

То есть уровень воды будет ниже уровня масла на

.

Задача решена.

Гидравлический пресс

Мы рассмотрели случай, когда жидкость передаёт гидростатическое и атмосферное давление. Эти давления возникают из-за притяжения к Земле, мы на них не влияем. Но ведь мы можем сами “надавить” на жидкость, и она передаст это давление.

Если надавить на жидкость в одной части сосуда, давление передастся в другую. Устройство, работающее на таком принципе, называется гидравлическим прессом:

Внешнее давление создается поршнем, на который действуют с некоторой силой . Поршень действует с такой же силой  на жидкость и создаёт давление , где  – площадь поршня.

Жидкость находится на одном уровне, поэтому гидростатическое давление можем не учитывать: оно и так будет одинаковое в обеих частях гидравлического пресса. Значит, на второй поршень передастся такое же давление . Можно вычислить силу, которая будет действовать на второй поршень площадью :

Прикладывая меньшую силу, хочется получить большую. Для этого площадь второго поршня должна быть больше площади первого. Во сколько раз она будет больше, во столько раз будет больше и сила.

Преобразуем полученное выражение для гидравлического пресса:

Полученное выражение более наглядно показывает принцип действия гидравлического пресса: давления на поршни  одинаковы:

.

Почему именно жидкость применяется в гидравлическом прессе

Можно ли придумать похожее устройство, но без жидкости? Твердое тело использовать не получится – для него не выполняется закон Паскаля, а на нем основан принцип действия пресса. Но закон Паскаля выполняется не только для жидкостей, но и для газов. Существуют приборы, использующие газ. Они называются пневматическими прессами и тоже используются, как и гидравлические.

Молекулы в жидкости расположены близко, её можно считать несжимаемой. А вот в газе молекулы расположены на расстояниях бо́льших, чем размеры самих молекул, газ можно сжать. При изменении объема, меняется и давление, которое он создает. Поэтому механизм работы пневматического пресса описать сложнее. Так что остановимся только на гидравлическом прессе.

Задача 2

С помощью гидравлического пресса необходимо приподнять машину массой 1,5 тонны лишь одним пальцем:

Считать, что площадь одного поршня совпадает с площадью подушечки пальца (). Необходимо найти площадь второго поршня, на котором будет стоять машина. Будем считать, что палец может давить с силой .

Запишем формулу для гидравлического пресса:

Одна сила – это действие пальца, по условию . А сила, которая действует на второй поршень – это вес автомобиля . Запишем: . Осталось выразить  и, подставив численные значения, получить площадь второго поршня .

Решение задачи

Вычислим силу :

В формуле гидравлического пресса

перемножим по правилу пропорции:

Выразим :

Чтобы приподнять машину хотя бы на 1 мм, нужно сдвинуть поршни. При этом жидкость перельется из одной части пресса в другую. Посчитаем, на сколько же опустится меньший поршень. Чтобы под больший поршень перелился некоторый объем жидкости, он должен вытечь из-под меньшего поршня. Для поднятия большего поршня на 1 мм туда должен перетечь объем: . Из-под меньшего поршня вытечет тот же объем . Тогда поршень опустится на . Видим, что, получив большой выигрыш в силе, мы вынуждены переместить поршень на большое расстояние. Именно поэтому неограниченно увеличивать силу мы не сможем – тогда придётся очень далеко перемещать поршень.

Теперь нужно учитывать дополнительное гидростатическое давление: мы поднимаем не только груз, но еще и столб жидкости выше малого поршня:

Учесть дополнительное давление можно: просто записываем равенство давлений в разных частях сообщающихся сосудов.

Как избежать разности гидростатических давлений

Мы рассмотрели стандартный вид гидравлического пресса. Но можно его немного изменить:

Принцип работы не поменяется, жидкость по-прежнему будет передавать внешнее давление. Зато высота жидкости возле меньшего поршня изменяться не будет, он будет находиться на одном уровне, и мы сможем использовать формулу для гидравлического пресса. Но всё равно придется перемещать меньший поршень на 10 метров, что очень неудобно.

В реальных же гидравлических прессах перемещения поршней достаточно малы, чтобы изменением высоты жидкости можно было пренебречь. И тогда можно использовать формулу:

Список рекомендованной литературы

1. Перышкин А. В. Физика. 7 кл. – 14-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010.

2. Перышкин А. В. Сборник задач по физике, 7–9 кл.: 5-е изд., стереотип. – М: Издательство «Экзамен», 2010.

3. Генденштейн Л. Э., Кирик Л. А. Решение ключевых задач по физике для основной школы. 7-9 классы. – М., 2013, - 208с.

Проверь себя

1. Расскажите о принципе работы фонтанов

2. Малый поршень гидравлического пресса за один ход опускается на расстояние , а большой поршень поднимается на высоту . С какой силой  действует пресс на зажатое в нем тело, если на малый поршень действует сила ?

3. В левое колено u-образной трубки с водой долили слой керосина высотой . На сколько поднимется уровень воды в правом колене?