52. Алгоритм решения задач по динамике (основной урок)

Алгоритм решения задач

Сегодня мы будем решать задачи по динамике. Главное в решении таких задач – это правильно применить законы Ньютона. Что значит правильно?

В кинематике мы изучили равномерное прямолинейное движение, т.е. движение без ускорения, и движение с постоянным ускорением. Движения с постоянным ускорением мы изучили два вида: равноускоренное прямолинейное движение и равномерное движение по окружности, находить эти ускорения мы тоже умеем.

К движению без ускорения применим первый закон Ньютона: равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю.

Когда равнодействующая всех сил не равна нулю, то применяем второй закон Ньютона: тело движется с ускорением .

Для того чтобы применить один из законов, нужно определить все действующие на тело силы и сложить их. Определять и находить силы мы уже научились в разделе «Динамика».

Уравнения, записанные по первому или второму закону Ньютона, записываются в проекциях на выбранные оси координат. Выбор системы координат произволен и не будет влиять на ответ, но будет влиять на ход решения: мы выбираем, как удобнее.

Пример

По горизонтальному столу с помощью пружины равномерно тянут брусок. Определите коэффициент трения между столом и бруском, если пружина во время опыта растягивается на 8 см. Масса бруска 6 кг, жесткость пружины 300 Н/м.

Решение

Проанализируем условие задачи. Брусок движется равномерно, значит, по первому закону Ньютона, равнодействующая сил равна нулю.

На брусок действует сила тяжести, сила реакции опоры, сила упругости пружины и сила трения.

Выберем удобную систему координат. Силы направлены вертикально и горизонтально, поэтому удобно направить оси координат так же: например, вверх и вправо.

Применим первый закон Ньютона: .

В проекциях на выбранные оси координат запишем:

Учитывая, что модуль силы упругости равен, а силы трения, получим:

Осталось найти коэффициент трения.

Свертка. Математическая часть решения задачи

Движение связанных тел

Движение связанных тел

Пример

Вертолет массой 27,2 т поднимает на тросах вертикально вверх груз массой 15,3 т с ускорением . Найдите силу тяги вертолета и силу, действующую со стороны груза на прицепной механизм вертолета.

Решение

Вертолет и груз связаны нерастяжимым тросом, значит, они оба движутся с ускорением, по второму закону Ньютона вызванным равнодействующей силой для каждого тела. Рассмотрим каждое из них.

На вертолет действует сила тяжести, сила тяги и сила натяжения троса. На груз действует сила тяжести и сила натяжения троса. По третьему закону Ньютона, силы натяжения, действующие на груз и на вертолет, равны по модулю.

Выберем систему координат. Удобно направить координатную ось в сторону движения тел.

По второму закону Ньютона, запишем для вертолета: .

И для груза: .

Запишем в проекции на ось y и получим систему уравнений: .

Решив систему, найдем искомые силы.

Свертка. Математическая часть решения задачи

Из второго уравнения найдем Т:

Подставим в первое и найдем:

Пример

На нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы массами m и 2m. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их отпустить? Трением в блоке пренебречь.

Решение

Проанализируем условие. В задаче два связанных груза. На каждый из них действует сила тяжести и одинаковая по модулю сила натяжения нити (по третьему закону Ньютона). Грузы связаны нерастяжимой нитью, значит, они оба движутся с ускорением, по второму закону Ньютона вызванным равнодействующей силой для каждого груза. Естественно предположить, что ускорение будет направлено в сторону более тяжелого груза.

Тела движутся вдоль вертикального направления, поэтому направим координатную ось вертикально, например, вниз.

Запишем по второму закону Ньютона соответственно:

Запишем в проекции на ось y и получим систему уравнений:

.

Остается решить систему и найти ускорение.

Свертка. Математическая часть решения задачи

Вычтем второе уравнение из первого:

Движение по горизонтальной поверхности

Пример

Масса первого бруска – 2 кг, второго – 500 г. Какова сила натяжения нити, которая их соединяет, если коэффициент трения между первым бруском и столом составляет 0,2?

Решение

В задаче два связанных тела. На первое тело действует сила тяжести, сила реакции опоры, сила натяжения нити и сила трения. Важно правильно определить направление силы трения скольжения: она препятствует скольжению.

В нашем случае сила трения направлена на рисунке вправо, т.к. сила натяжения нити стремится сдвинуть брусок влево. На второе тело действует сила тяжести и сила натяжения нити. По третьему закону Ньютона, силы натяжения, действующие на бруски, равны по модулю.

Силы действуют вдоль вертикали и вдоль горизонтали, поэтому удобно направить оси координат так же: например, вверх и влево.

В задаче не сказано, двигались ли бруски с ускорением или нет. Предположим, что ускорение было, тогда оно направлено влево для первого бруска и вниз для второго. Это ускорение, по второму закону Ньютона, вызвано равнодействующей силой. Запишем для каждого бруска:

В проекциях на выбранные оси координат запишем:

Учитывая, что модуль силы трения, получим систему уравнений: .

Решив систему, получим.

 Свертка. Математическая часть решения задачи

Вычтем второе уравнение из первого: .

Выразим ускорение: .

Подставим в любое из уравнений системы, например, в первое, и получим силу натяжения нити:

Давайте обсудим, правильно ли было наше предположение насчет ускорения. Сила натяжения нити, равная весу второго бруска, получилась меньше силы тяжести этого бруска. Уменьшение веса происходит, когда тело действительно движется с ускорением вниз.

Если бы ответ получился больше 5 Н, это значило бы движение с ускорением вверх, а для первого бруска – вправо. Но второй брусок не может двигаться вправо, т.к. в эту сторону направлена сила трения, препятствующая движению. Значит, наше предположение было бы неверно и нужно было бы решать задачу, считая, что тела покоятся.

Пример

С каким ускорением движется система, изображенная на рисунке, если и коэффициент трения? Какова сила натяжения нити, связывающей тела I и II, и сила натяжения нити, связывающей тела II и III?

Решение

Проанализируем условие задачи. Три тела под действием сил движутся с ускорением: будем применять второй закон Ньютона. Тела связаны, значит, ускорения тел равны.

Обозначим на рисунке силы, действующие на каждое тело:

На первое и третье действуют силы натяжения нитей и силы тяжести, на второе – силы тяжести, реакции опоры, натяжения обеих нитей и трения. Ускорение направлено в сторону более тяжелого третьего тела, сила трения противоположна движению.

Все силы и ускорения направлены либо вдоль вертикального, либо вдоль горизонтального направления, поэтому систему координат удобно выбрать, как показано на рисунке.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела:

Записав уравнения в проекциях на координатные оси, получим систему уравнений:
 .

Решив систему, найдем, и.

Свертка. Математическая часть решения задачи

Вычтем первое уравнение из четвертого:

Вычтем полученное уравнение из третьего уравнения ситемы, учитывая, что из второго уравнения 

Отсюда ускорение равно: 

Подставим в первое уравнение и найдем: 

Из четвертого уравнения выразим: 

Движение по наклонной поверхности

Пример

Определите минимальное значение массы подвешенного груза, при котором показанная на рисунке система будет пребывать в равновесии, если,. Коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью равен 0,1.

Решение

Проанализируем условие. Система пребывает в равновесии, тела не движутся, значит, по первому закону Ньютона, силы, действующие на брусок, уравновешиваются. Для каждого бруска будем складывать векторы сил и приравнивать сумму к нулю.

Обозначим на рисунке силы: на второй брусок действует сила тяжести и сила натяжения нити. На первый – сила тяжести, сила натяжения нити, сила реакции опоры и сила трения. Возникает вопрос: куда направлена сила трения? Мы знаем, что она препятствует движению. Что об этом сказано в условии?

Мы определяем минимальную массу второго груза, при которой система еще пребывает в равновесии. Очевидно, что при меньшей массе груза этот груз начнет двигаться вверх, а первый – вниз по наклону. Значит, сила трения направлена вверх по наклону.

Выберем систему координат для каждого груза. Для первого груза удобно направить ось х параллельно наклонной плоскости, а у – перпендикулярно ей.

Для второго груза достаточно одной оси, направим ее вертикально вверх.

Запишем для каждого груза первый закон Ньютона:

И в проекциях на оси координат, с учетом того что

Остается решить систему из трех уравнений и получить.

Свертка. Математическая часть решения задачи

Выразим из второго и третьего уравнений N и Т:

Подставим в первое: .

Найдем массу второго груза:

Стоит отметить, что при максимальной массе сила трения будет направлена в противоположную сторону, она будет сдерживать движение системы в сторону второго груза. Максимальная масса второго груза будет равна:.

Также система будет пребывать в равновесии при всех промежуточных значениях массы.

Движение по окружности

Пример

На горизонтальный диск, вращающийся вокруг вертикальной оси, кладут монету. Наибольшее расстояние от оси вращения, при котором монета остается неподвижной относительно диска, равно. Каков коэффициент трения монеты о диск? Диск совершает 36 оборотов в минуту.

Решение

По условию задачи, монета на диске движется по окружности, значит, с центростремительным ускорением . По второму закону Ньютона, оно вызвано силами, действующими на монету. На нее действует сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения, препятствующая соскальзыванию монеты к краю диска, т.е. направленная к центру диска.

Чтобы обозначить силы, сделаем рисунок в таком ракурсе и выберем систему координат. Направим ось х в сторону центростремительного ускорения, а ось у – перпендикулярно оси х.

Применим второй закон Ньютона: .

Запишем в проекциях на оси координат, с учетом того что

Линейная скорость равна пути, деленному на время. По условию задачи, монета сделала 36 оборотов, т.е. прошла 36 длин окружности за минуту. Запишем: .

Получили систему уравнений, из которой найдем коэффициент трения:.

Свертка. Математическая часть решения задачи

Из первого уравнения выразим N и подставим во второе силу реакции опоры и линейную скорость:

Подведем итоги. Для решения задач по динамике необходимо следующее.

Знать

1) Законы Ньютона.

2) Формулы для вычисления сил гравитации, упругости, трения.

3) Формулы из кинематики, описывающие равноускоренное прямолинейное движение и движение по окружности.

Уметь

1) Определять все действующие на тело силы.

2) Выбирать оптимальную систему отсчета.

3) Применять законы Ньютона.

Понимать

Решение большинства задач по динамике заключается лишь в правильной записи первого или второго закона Ньютона для конкретной задачи. В случае связанных тел закон записывается для каждого тела отдельно.

Заключение

На этом уроке мы рассмотрели:

• Алгоритм решения задач по динамике;

• Движение связанных тел;

• Наклонную плоскость.

На следующем уроке мы повторим и обобщим наши знания по динамике и продолжим решение задач.

Ссылки на уроки InternetUrok.ru по рассмотренным темам:

1. Урок «Решение задач по динамике. Движение по горизонтали и вдоль наклонной плоскости» (физика, 10 класс, раздел «Силы в механике»)

2. Урок «Решение задач по динамике. Движение связанных тел» (физика, 10 класс, раздел «Силы в механике»)

3. Урок «Основные типы сил в механике» (физика, 10 класс, раздел «Силы в механике»)

4. Урок «Решение задач на движение. Системы связанных тел» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)

5. Урок «Решение задач на движение по окружности, в том числе на поворотах» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)

6. Урок «Решение задач на движение тел по наклонной плоскости» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)

7. Урок «Решение задач повышенной сложности на движение в ИСО» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)