57. Повторение. Промежуточный срез № 1 (основной урок)

Графическая задача

Мы изучили кинематику – раздел физики, изучающий движение, но не рассматривающий его причины.

Мы рассмотрели три вида движения: равномерное прямолинейное, равноускоренное прямолинейное и равномерное по окружности.

Для прямолинейного движения с начальной скоростью  и постоянным ускорением  перемещение за время  равно: .

По определению ускорение равно изменению скорости за единицу времени: .

При этом для равномерного движения  и формула для перемещения приобретает вид: . Где  – постоянная скорость:.

Равномерное движение по окружности характеризуется помимо линейной скорости угловой скоростью, частотой, периодом вращения. Центростремительное ускорение при движении по окружности радиуса  со скоростью  равно: .

Пример

На рисунке представлен график зависимости скорости v автомобиля от времени t. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале времени от до с.

Решение

График явно разбивается на 4 линейных участка. Найдём путь на каждом участке и сложим. На первом и третьем участке скорость равномерно изменяется, движение равноускоренное. Пути равны :

По определению ускорения равны:

На втором и четвёртом участках движение равномерное, путь равен:

Решение громоздкое, но простое: график показывает значение скорости в любой момент времени, поэтому все необходимые значения находим на графике и вычисляем путь за секунд: .

Математическая часть решения задачи

По графику определяем:

Вычислим ускорения:

Вычислим путь на каждом участке:

Суммарный путь равен: 

Мы решили задачу, вычисляя путь по известным нам формулам для равномерного и равноускоренного движения. Также мы помним, что пройденный телом путь равен площади фигуры под графиком . Можем свести задачу к геометрической – нахождению площади фигуры под графиком.

Разобьём фигуру на части, площадь которых можем легко найти: две трапеции и два прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований.

Все необходимые размеры находим по графику и вычисляем площадь фигуры.

Сложение скоростей

Скорость, как и любой вектор, имеет абсолютное значение и направление, и когда мы складываем скорости, мы складываем векторы. Решим несколько задач со сложением скоростей.

Пример

Какое расстояние (в км) между посёлками на реке, если лодка против течения реки проходит его за , а по течению – за ? Скорость лодки в стоячей воде .

Решение

В задаче описано два участка движения лодки: по течению и против течения, при этом пройденный путь один и тот же  – расстояние между поселками .

Выберем систему координат. Движение прямолинейное, достаточно одной координатной оси х. Направим её в направлении движения лодки. В проекции на ось х вектор – это число. Перемещение лодки при движении по течению за время  равно: . ,  и  направлены в ту же сторону, что ось , их проекции на эту ось положительны.

При движении лодки против течения снова направим ось х в сторону движения лодки (проекция скорости реки на ось х отрицательна, скорость направлена против оси х). Перемещение лодки за время  равно:

 .

Получили систему уравнений: , решив которую, найдём расстояние

 Математическая часть решения задачи

Приравняем правые части уравнений:  Выразим : 

Подставим  в любое из двух уравнений и получим: ,

Пример

Человек переплывает реку, его скорость направлена перпендикулярно берегу. Пловца снесло вниз по течению на 6 м. Найдите ширину реки и перемещение пловца, если его скорость , скорость течения  .

Решение

Выберем систему координат, как показано на рисунке.

Человек плывет в воде перпендикулярно берегу, при этом вместе с водой он движется вдоль реки. Его суммарное перемещение и суммарная скорость являются суммой векторов перемещения и скорости воды и пловца в воде.

Перемещение пловца относительно воды равно  и равно ширине реки: .

Смещение пловца вдоль реки равно: 

Модуль суммарного перемещения равен модулю вектора: .

Остается решить полученную систему уравнений: 

.

Математическая часть решения задачи

Выразим из второго уравнения время: 

И подставим в первое уравнение: 

Суммарное перемещение равно: 

,

Равноускоренное прямолинейное движение

Пример

Какой путь проедет автомобиль при равноускоренном движении, снизив скорость с  до , если известно, что при скорости  время торможения до полной остановки при том же ускорении равно ?

Решение

В задаче описано два участка равноускоренного движения.

Выберем систему координат, направим ось в направлении движения автомобиля.

На первом участке пройденный путь равен: .

По определению ускорения как изменения скорости за единицу времени запишем: .

На втором участке конечная скорость равна нулю, и ускорение, равное ускорению на первом участке, равно: .

Знак ускорения получился отрицательным, посмотрим, что это значит. Ускорение отрицательно, т. е. оно направлено против оси х. Скорость направлена вдоль оси х, ускорение направлено в сторону, противоположную скорости, тело замедляется.

Получили систему уравнений, решив которую, найдем :

.

Математическая часть решения задачи

Приравняем правые части второго и третьего уравнений: Выразим время : 

Подставим ускорение из четвёртого уравнения и время  в выражение для : 

,

Свободный полёт

Частным случаем равноускоренного движения является свободный полёт – движение с ускорением свободного падения , направленным вниз.

Пример

Тело падает без начальной скорости с высоты . Определите путь, пройденный телом за последние от начала своего движения. Начальная скорость тела равна нулю.

Решение

Выберем систему отсчёта. Тело движется вертикально вниз. Удобно направить ось координат также вертикально вниз с началом отсчёта в точке начала падения. Перемещение тела, равное по условию задачи , запишем так: .

Рассмотрим движение тела за последние . К тому моменту тело приобретет скорость . И перемещение за будет равно: . Получили систему уравнений, решив которую найдём : 

.

Математическая часть решения задачи

Выразим из первого уравнения всё время падения : 

Подставим во второе уравнение и найдём начальную скорость для второго участка пути

Подставим в третье уравнение и найдём длину последнего участка пути: 

,

Криволинейное движение

Пример

Мальчик стоит на балконе на высоте и в вертикальной плоскости вращает игрушку массой на нити длиной , которая выдерживает силу . Нить обрывается и игрушка летит от мальчика под угломк горизонту вверх. Как далеко от дома упадет игрушка?

Решение

Игрушка сначала движется по окружности с ускорением .

По второму закону Ньютона ускорение вызвано силой натяжения нити, которая в момент отрыва была максимальной: .

Затем игрушка начинает двигаться с начальной скоростью, направленной под углом  к горизонту с абсолютным значением , и ускорением свободного падения.

Выберем систему координат. Удобно будет поместить начало отсчёта в точку, откуда тело начинает движение и направить оси так, чтобы направление броска было положительным в обеих проекциях, как показано на рисунке.

Опишем движение игрушки в виде уравнений. Траектория игрушки – это сумма двух движений: равномерного прямолинейного по х и свободного полета по у. Запишем это ,

,

Запишем также скорость тела,

,

Здесь ускорение свободного падения отрицательно , т.к. оно направлено в сторону, противоположную выбранной оси координат.

В задаче дано:

За время полета перемещение игрушки вдоль оси будет равно , а по оси – расстоянию, равному дальности полета: . Проекции начальной скорости на оси х и у равны соответственно , . Проекция ускорения g на ось у отрицательна, т. к. ускорение направлено против выбранного направления оси у. Подставим заданные в задаче значения и запишем в виде системы уравнений: 

.

Универсальность решения

Как бы мы решали задачу, если бы дальность полёта была известна, но неизвестна, например, начальная скорость, максимальная высота полёта или угол, под которым брошено тело?

Мы бы описали движение теми же уравнениями! Движение вдоль оси х равномерное, вдоль оси у – равноускоренное, перемещения и скорости вдоль осей координат равны:

Далее мы бы подставили заданные значения. И только на этом этапе появляются отличия в решении этой задачи от решения предыдущей. Далее решаем полученную систему уравнений и находим ответ.

Математическая часть решения задачи

Выразим из первого уравнения скорость игрушки в момент отрыва :

Подставим во второе и третье уравнение:

Из последнего найдём время полета:

Момент означает момент до отрыва нити. Время полёта равно . Подставим в уравнение для дальности полёта  и вычислим: . Для решения задач по кинематике необходимо следующее:

Знать

1. Формулу перемещения при равномерном прямолинейном движении .

2. Определение ускорения .

3. Формулу перемещения при равноускоренном прямолинейном движении 

   .

4. Центростремительное ускорение при равномерном движении по окружности .

Уметь

1. Определять вид движения.

2. Выбирать оптимальную систему отсчёта.

3. Разложить движение на проекции.

Понимать

1. Любое движение можно представить в виде одной из трёх моделей: равномерное прямолинейное, равноускоренное прямолинейное движения и равномерное движение по окружности.

Заключение

В данном уроке было рассмотрено прямолинейное равномерное движение, прямолинейное равноускоренное движение, а также равномерное движение по окружности.

На следующем уроке мы перейдём к разделу «Динамика», рассмотрим причины изменения скорости и законы Ньютона.

Ссылки на уроки InternetUrok.ru по пройденным темам:

1. Урок «Основные понятия кинематики. Скорость. Средняя скорость. Относительная скорость. Сложение перемещений и скоростей» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)

2. Урок «Материальная точка. Система отсчёта» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

3. Урок «Перемещение» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

4. Урок «Определение координаты движущегося тела» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

5. Урок «Перемещение при прямолинейном равномерном движении» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

6. Урок «Равнопеременное движение. Законы и уравнения» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)

7. Урок «Прямолинейное равноускоренное движение. Ускорение» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

8. Урок «Скорость прямолинейного равноускоренного движения. График скорости» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

9. Урок «Графический способ описания движений» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)

10. Урок «Решение задач на определение ускорения мгновенной скорости и перемещения при равноускоренном прямолинейном движении» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

11. Урок «Перемещение тела при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

12. Урок «Уравнения кинематики прямолинейного движения тела с ускорением свободного падения» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)

13. Урок «Задачи на движение с ускорением свободного падения» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)

14. Урок «Равномерное движение по окружности» (физика, 11 класс, раздел «Подготовка к ЕГЭ»)