34. Промежуточный срез №4 (основной урок)

Начиная изучать молекулярно-кинетическую теорию, мы ввели ряд величин, с помощью которых удобно количественно описывать вещество, такие как концентрация молекул: . Это количество молекул в единице объема. Масса молекул в единице объема – это плотность: .

Количество молекул неудобно считать в единицах: даже в небольшой частице вещества, с которыми мы работаем, содержится огромное количество молекул. Удобнее считать молекулы некими порциями со строго определенным количеством молекул (подобно тому, как количество зерна считают мешками, яйца – десятками или в Британии дюжинами). Такая порция в физике и химии – один моль – содержит частиц (атомов или молекул), это число Авогадро . Тогда количество введенных порций определяется как количество молекул вещества, деленное на количество молекул в одной порции: .

Понятно, что, если мы возьмем по дюжине перепелиных и страусиных яиц, масса яиц будет разной, хотя количество одно и то же – дюжина. Причем для каждого вида яиц можно определить массу одной дюжины. Аналогично поступают и с веществом: для каждого вещества можно определить массу одного моля вещества, эту величину назвали молярной массой: .

Находить молярную массу для каждого вещества мы умеем по таблице Менделеева. Логично, что если молекул имеют массу , то масса одной молекулы равна . Применив определение плотности, можем записать объем, который занимает одна молекула: . При этом мы различаем микропараметры (их можно применить к одной молекуле, например, масса и объем молекулы  и ) и макропараметры вещества (их можно применить только к системе молекул, например, концентрация или количество вещества ).

Стоит отметить, что записанные формулы не выражают неких закономерностей, не описывают процесс, как, например, следствие из второго закона Ньютона (сила , приложенная к телу массы , вызывает его ускорение ). Это формулы для перехода от одних величин, описывающих вещество, к другим. Формулы выражают лишь то, какое определение мы приняли для данной величины.

Задача

В комнате испарилась капелька эфира массой . Сколько молекул эфира попадет в легкие человека, вошедшего в комнату? Площадь комнаты , высота потолка , жизненный объем легких (объем вдыхаемого за один раз воздуха) равен , молярная масса эфира – .

Анализ условия

Давайте разберемся в происходящих процессах:

- эфир испарился, при этом, сколько его было в капле, столько его стало в воздухе комнаты.

- после испарения в комнате установилась равномерная концентрация эфира.

- воздух с этой концентрацией эфира попал в легкие заданного объема.

Решение

Запишем наши размышления математически. Для выражения концентрации нам понадобится количество молекул в капле. Задана масса капли. И с массой, и с количеством молекул связана величина количество вещества. Запишем: . Концентрация молекул в комнате по определению равна: .

Здесь количество молекул в комнате равно количеству молекул в капле эфира, а объем комнаты равен ее площади на высоту: . Количество молекул в легких равно концентрации молекул эфира, умноженной на объем легких. Поскольку в легких тот же воздух, что и в комнате, то и концентрация в нем эфира будет такой же, . Запишем: .

Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными ,  и : . Остается ее решить и найти искомое количество молекул в легких.

Подведем итоги. Для решения задач, подобных рассмотренной, необходимо следующее.

Знать

Определения величин, которые мы ввели для работы в МКТ.

Уметь

Переходить от одних величин к другим, используя их определения.

Понимать

Используемые в разделе формулы выражают то определение, которое мы приняли для данной величины, когда ее ввели.

Модель идеального газа мы изучали на протяжении всей темы. В рамках этой модели мы считаем газ совокупностью атомов или молекул, малых по сравнению с расстояниями между ними и взаимодействующих только при столкновении.

Основное уравнение МКТ связывает микропараметры и макропараметры идеального газа: . Давление газа на стенки сосуда пропорционально концентрации молекул газа, массе каждой молекулы и квадрату среднеквадратической скорости (поскольку при большом количестве молекул нас не интересует скорость каждой молекулы отдельно, можно брать среднее значение). Чтобы не забыть о коэффициенте , вспоминаем, что давление оказывают только молекулы, которые движутся в направлении, перпендикулярном стенке (на рисунке вдоль оси ), т.е. одном из трех возможных направлений.

Не забываем, что при необходимости можно перейти к более удобным для решения задачи величинам. Например, по определению концентрация равна . Тогда уравнение примет вид: .

Если массу одной молекулы умножить на количество молекул в газе, то получим массу всего газа: .

По определению – это плотность . Тогда . Кинетическая энергия одной молекулы равна по определению . Тогда уравнение  запишем так: . Температура одноатомного идеального газа однозначно определяется средней кинетической энергией движения его атомов: .

Задача

При каком давлении газа его плотность равна , если средняя квадратичная скорость молекул ?

Анализ условия

- в задаче речь идет о газе, состояние которого описано через плотность, давление и среднюю квадратичную скорость.

- в задаче не сказано, что газ идеальный, но реальный газ в обычных условиях достаточно точно соответствует модели идеального газа.

- уравнение, связывающее микропараметры с макропараметрами, – основное уравнение МКТ: .

- уравнение не содержит всех заданных в условии величин, поэтому будем переходить к другим величинам, используя их определения.

Решение

Нам не известны концентрация газа и масса одной молекулы, но известна плотность. Преобразуем уравнение. Концентрация по определению равна , а масса одной молекулы . Тогда запишем: .

 – это по определению плотность: . Теперь у нас есть все необходимые значения, остается лишь вычислить давление: (Па).

Задача

В вакуумной камере объемом находится  молекул газа. Определите давление газа в камере, если температура равна .

Анализ условия

- в задаче описан разреженный газ, он достаточно точно описывается уравнениями для идеального газа.

- газ описан такими параметрами, как количество молекул в некотором объеме (сразу можем найти концентрацию), давление, значит, будем применять основное уравнение МКТ.

- температура газа пропорциональна средней кинетической энергии его атомов.

Решение

Запишем названные уравнения: .

У нас нет массы одной молекулы и среднеквадратичной скорости, но заметим, что , а концентрация равна по определению , и теперь в нашей системе уравнений неизвестных,  и : . Остается только решить систему и найти давление.

Подведем итоги. Для решения задач, подобных рассмотренным, необходимо следующее.

Знать

Основное уравнение МКТ для идеального газа.

Уметь

1) Применять основное уравнение МКТ.

2) Переходить к удобным или заданным в задаче величинам.

Понимать

Основное уравнение МКТ связывает микропараметры и макропараметры идеального газа.

Есть три основных макропараметра, описывающих состояние идеального газа: давление , объем  и температура . Эти три макропараметра связывает уравнение состояния идеального газа, или уравнение Менделеева – Клапейрона, которое, как мы показывали при его изучении, можно вывести из основного уравнения МКТ, используя связь температуры и средней кинетической энергии . Уравнение состояния идеального газа записывается так: .

Таким образом, для фиксированного количества газа при двух заданных параметрах третий определяется однозначно. При рассмотрении фиксированного количества газа (нет утечек) удобно записать уравнение в следующем виде: .

Или . Это частный случай записи уравнения состояния идеального газа.

Также мы рассматривали, что, если газ переходит из одного состояния в другое, сохраняя один из трех параметров постоянным, мы получим один из трех газовых законов:

Закон Бойля – Мариотта (изотермический процесс, , ).

Закон Гей-Люссака (изобарный процесс, , ).

Закон Шарля (изохорный процесс, , ).

Вспомнить их более подробно вы можете в разделах 3, 4 и 5 урока «Уравнение состояния идеального газа».

Задача

Посередине открытой с обоих концов горизонтальной стеклянной трубки длиной находится столбец ртути длиной . Закрыв одно из отверстий трубки, её располагают вертикально закрытым концом вниз. Определите атмосферное давление, если столбец ртути переместился относительно трубки на , а температура системы не изменялась.

Анализ условия

- в тот момент, когда мы закрыли трубку, воздух в закрытой половине стал изолирован, поэтому к нему можно применять газовые законы.

- процесс изотермический, будем применять закон Бойля – Мариотта.

- нас интересуют два состояния системы: первое, когда трубка горизонтальна, и второе, когда трубка уже перевернута вертикально.

Решение

Запишем закон Бойля – Мариотта: . В начальном состоянии, когда мы только закрыли конец трубки, давление воздуха в ней равнялось атмосферному: . Воздух занимал объем, равный площади сечения трубки, умноженной на длину столбца воздуха (это половина длины трубки без ртути):

В конечном состоянии на воздух давит атмосфера и столбец ртути высотой , и, по третьему закону Ньютона, давление воздуха под столбцом ртути равно: .

Длина столбца воздуха уменьшилась на , значит, объем станет равен: .

Подставим все величины и запишем закон Бойля – Мариотта для нашей задачи: . Остается лишь выразить и вычислить атмосферное давление.

Подведем итоги. Для рассмотрения изменения состояния идеального газа необходимо следующее.

Знать

Уравнение состояния идеального газа.

Уметь

1) Выбрать модель, с помощью которой можно описать процесс (постоянная или изменяющаяся масса газа, постоянный один из основных макропараметров газа при двух переменных или нет).

2) Получить из уравнения Менделеева – Клапейрона один из газовых законов, если его можно применить для данной задачи.

Понимать

Уравнение Менделеева – Клапейрона полностью описывает связь основных макропараметров газа заданной массы. Уравнение Клапейрона и газовые законы являются лишь частными случаями его применения.

При рассмотрении процессов, происходящих в газе, с точки зрения энергии мы оперируем понятиями внутренней или тепловой энергии  (суммарная кинетическая энергия движения атомов), механической работы  (ее понятие соответствует тому, которым мы пользовались в механике: скалярное произведение силы на перемещение) и количества теплоты  (тепловая энергия, переданная телу). Описываются эти процессы с помощью двух законов термодинамики.

Первый закон термодинамики: .

При переходе системы из одного состояния в другое количество теплоты , переданное системе, затрачивается на изменение внутренней энергии системы  и выполнение газом работы .

Второй закон термодинамики: невозможно перевести тепло от более холодной системы к более горячей при отсутствии других одновременных изменений в обеих системах или в окружающих телах.

Внутренняя энергия идеального газа однозначно определяется температурой: . Применив уравнение состояния идеального газа, можем записать: . Нас чаще всего интересует изменение внутренней энергии. Оно равно: .

Работа газа равна площади фигуры под графиком, отображающим процесс изменения состояния газа, в координатах . Для изобарного процесса работа равна .

Поскольку газ при определенных изменениях состояния выполняет работу, это можно использовать при построении теплового двигателя. Мы разбирали, что для его работы нужно циклически нагревать и охлаждать газ, т.е. сообщать и отводить теплоту  и .

Сообщенная теплота – это затраченная энергия (например, сгорания топлива), разница между сообщенной и отведенной теплотой равна полезной работе газа. Тогда КПД теплового двигателя равен: . Максимально возможный КПД – это КПД идеальной машины, работающей по циклу Карно. Он равен .

Задача

Найдите, какую работу выполняет газ, на сколько изменяется его внутренняя энергия и какое количество теплоты он получает в процессе .

Анализ условия

- задан график процесса в координатах , значит, можем вычислять работу как площадь закрашенной фигуры.

- внутренняя энергия равна . Т.к. мы не знаем ни температуры, ни количества газа, воспользуемся уравнением состояния идеального газа и запишем: . Давление и объем газа можем найти по графику.

- по первому закону термодинамики количество переданной газу теплоты найдем как сумму .

Решение

Найдем работу. Заштрихованная фигура – прямоугольник высотой  и шириной : .

По графику находим численные значения и подставляем, не забыв перевести в СИ: .

Изменение внутренней энергии равно . Определим внутреннюю энергию в каждом состоянии как . Тогда .

Посмотрев по графику численные значения, вычислим: .

По первому закону термодинамики найдем полученное газом количество теплоты: . Заметим, что мы нашли количество теплоты, переданное газу нагревателем.

Мы также могли бы вычислить количество теплоты, отданное газом в процессе  холодильнику, и получить все необходимые данные для вычисления КПД тепловой машины, работающей по данному циклу.

Задача

От нагревателя рабочее тело тепловой машины за некоторое время получает тепла. Определите КПД машины, если в окружающую среду в процессе выполнения работы она за это время теряет тепла.

Анализ условия

- описана тепловая машина.

- известно .

- некоторое тепло машина рассеивает в окружающую среду. По второму закону термодинамики это возможно только в том случае, когда температура окружающей среды меньше температуры газа. Окружающая среда служит холодильником, которому рабочее тело отдает теплоту. Значит, задано и .

Решение

Все необходимые значения есть, вычислим КПД: .

Подведем итоги. Для решения задач по термодинамике необходимо следующее.

Знать

1) Первый и второй законы термодинамики.

2) Уравнение состояния идеального газа.

3) Формулу для внутренней энергии идеального газа .

4) Работу газа можно вычислить как площадь фигуры под графиком процесса в координатах .

5) КПД тепловой машины.

Уметь

1) Применять первый и второй законы термодинамики к конкретной задаче.

2) Применять формулы для вычисления КПД тепловой машины.

Понимать

Количество теплоты  – это теплота, полученная газом в процессе теплообмена с внешней средой. Изменение внутренней энергии происходит, если изменяется температура газа. Работа выполняется, если изменяется объем газа (т.е. если есть перемещение). Так, термодинамические показатели связаны с основными макропараметрами газа.

Тепловой двигатель превращает тепловую энергию в механическую, при этом неизбежны потери. На графике в координатах  работа газа за цикл равна площади, охватываемой контуром, который показывает цикл, по которому работает тепловой двигатель. Полученную теплоту можно найти по первому закону термодинамики, определив изменение внутренней энергии.

Чтобы температура вещества повысилась, ему необходимо сообщить некоторое количество теплоты, и, наоборот, при понижении температуры вещество теряет теплоту.

Сколько нужно теплоты, чтобы повысить температуру  килограммов вещества на  градусов? Назовем эту величину удельной теплоемкостью и обозначим . Если для газа мы можем посчитать  по первому закону термодинамики для заданного процесса, то для жидкостей и твердых тел удельная теплоемкость определяется экспериментально, ее значения занесены в таблицу, и мы можем ими пользоваться. Тогда при изменении температуры вещество получает количество теплоты .

Вещество может находиться в твердом, жидком и газообразном состояниях. Переход вещества из одного состояния в другое возможен при установленных для данного вещества температурах. В жидком состоянии молекулы вещества обладают большей энергией, чем в твердом, а в газообразном – еще большей, чем в жидком. Поэтому фазовые переходы сопровождаются поглощением или выделением теплоты .

При этом удобно определить количество теплоты, выделяющееся или поглощающееся при плавлении или кристаллизации каждого килограмма вещества, – это удельная теплота плавления . Аналогично вводится удельная теплота парообразования , и теплота, выделяющаяся при сгорании топлива, .

Таким образом, количество теплоты, которое получает или отдает тело при изменении температуры или агрегатного состояния, а также отдает при горении, равно:

Для удельной теплоты плавления часто используются обозначение , а для удельной теплоты парообразования – . При рассмотрении теплового баланса главное правило: сколько теплоты было отдано одними телами, столько было принято другими (с учетом возможных потерь).

Также мы изучили влажность воздуха.

Существует абсолютная влажность. Это количество водяного пара, которое реально содержится в воздухе. Оно определяется давлением  или  плотностью пара. Но при определенной температуре воздух способен содержать ограниченное количество пара. Пар сверх этого количества будет конденсироваться – происходит выпадение росы. Такому количеству соответствует давление или плотность насыщенного пара:  и . Часто нас интересует, сколько влаги содержит воздух, какую часть от максимально возможного количества при данной температуре. Эта величина – относительная влажность. По определению она равна: .

Задача

Воду массой и температурой  поставили на керосиновую горелку. Эффективность горелки . После того, как сгорел керосина, вода закипела, и часть воды испарилась. До кипения воды в комнате объемом  при температуре была влажность . Сколько росы выпадет в комнате после кипения воды?

Анализ условия

- рассмотрим сначала процесс нагревания воды.

- при сгорании керосина выделилось  теплоты. Из них  получила вода.

- вода получила теплоту , при этом нагревшись до температуры кипения , и теплоту , при этом испарилась часть воды массой .

- комната при  может содержать максимальную массу пара .

- при влажности  комната содержит  воды.

- когда испарится  воды, вся вода сверх максимально возможного для данной температуры значения выпадет в виде росы.

Решение

Запишем математически вышесказанное. Теплота, отданная керосином, равна теплоте, принятой водой: . После испарения части воды в комнате будет вода массой . В виде росы выпадет: .

Подставим массы насыщенного и ненасыщенного пара: .

Получили систему уравнений: . Значения , ,  и  находим в таблицах, остается только выразить .

Подведем итоги. Для решения задач на тепловой баланс и влажность необходимо следующее.

Знать

1) Формулы для количества теплоты, которое получает или отдает тело при изменении температуры или агрегатного состояния, а также отдает при горении.

2) Определения абсолютной и относительной влажности.

Уметь

1) Определять все отданное и полученное количество теплоты при теплообмене.

2) Учитывать все тела, участвующие в теплообмене.

3) Применять одну из формул для вычисления относительной влажности.

4) Определять относительную влажность, пользуясь психрометром.

Понимать

При рассмотрении теплового баланса главное правило: сколько теплоты было отдано одними телами, столько было принято другими (с учетом возможных потерь). Воздух при определенной температуре способен содержать определенное количество влаги. Остальная влага сверх этого значения выпадает в виде росы. Чем теплее воздух, тем больше влаги он способен содержать.

На этом уроке мы повторили:

Основное уравнение МКТ; Уравнение состояния идеального газа и газовые законы; Термодинамику и тепловую машину; Тепловой баланс; Влажность.

На следующем уроке мы начнем раздел «Электростатика. Законы постоянного тока. Магнетизм.»  и рассмотрим:

Электрический заряд и электрическое поле.

Взаимодействие электрических зарядов.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам:

1. Уравнение теплового баланса (Физика, 8 класс, раздел «Тепловые явления»)

2. Решение задач по теме \"Агрегатные состояния вещества. Переходы из одного агрегатного состояния в другое\" (Физика, 8 класс, раздел «Агрегатные состояния вещества»)

3. Влажность воздуха. Способы определения влажности воздуха (Физика, 8 класс, раздел «Агрегатные состояния вещества»)

4. Паровая турбина. КПД теплового двигателя (Физика, 8 класс, раздел «Агрегатные состояния вещества»)

5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (Колебошин С.В.) (Физика, 10 класс, раздел «Основы молекулярно-кинетической теории»)

6. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (Ерюткин Е.С.) (Физика, 10 класс, раздел «Основы молекулярно-кинетической теории»)

7. Уравнение состояния идеального газа (Физика, 10 класс, раздел «Основы молекулярно-кинетической теории»)

8. Газовые законы. Изопроцессы (Физика, 10 класс, раздел «Основы молекулярно-кинетической теории»)

9. Зависимость давления насыщенного пара от температуры. Кипение (Физика, 10 класс, раздел «Основы молекулярно-кинетической теории»)

10. Первый закон термодинамики. Необратимость тепловых процессов (Физика, 10 класс)

11. Второй закон термодинамики. Необратимость тепловых процессов (Физика, 10 класс)

12. Принцип действия теплового двигателя (Физика, 10 класс)