15. Промежуточный срез №6. Повторение (основной урок)

В курсе механики мы изучили движение без ускорения – это равномерное прямолинейное движение и движение с постоянным ускорением. Если ускорение в любой момент времени направлено вдоль вектора скорости – движение равноускоренное прямолинейное; если перпендикулярно вектору скорости – движение равномерное по окружности.

В данном разделе мы изучили еще один вид движения – колебательное движение. В общем случае колебания – это периодически повторяющееся изменение некоторой физической величины. При механических колебаниях изменяются координата колеблющегося тела, его скорость, ускорение, потенциальная и кинетическая энергия.

Мы рассмотрели две колебательные системы: математический и пружинный маятник. Математический маятник – это модель: на легкой нерастяжимой нити подвешено тело массы , размерами которого можно пренебречь по сравнению с длиной нити . При небольшом отклонении от положения равновесия математический маятник будет совершать колебания, период которых равен .

Пружинный маятник состоит из груза массы , закрепленного на легкой по сравнению с грузом упругой пружине. При отклонении, при котором выполняется закон Гука (его вы можете повторить, посмотрев урок из механики, посвященный силам упругости), возникают колебания, период которых равен .

Задача

Пружинный маятник совершает колебания. График зависимости координаты груза массой изображен на рисунке. Определите жесткость пружины и максимальную скорость груза.

Анализ условия

- в задаче описано колебание пружинного маятника.

- задан график зависимости координаты груза от времени. На нем мы легко найдем амплитуду отклонения груза от положения равновесия (то есть максимальную деформацию пружины) и период колебаний .

- период колебаний пружинного маятника равен .

- на графике не видно, чтобы уменьшалась амплитуда колебаний, значит считаем колебания незатухающими, потерь энергии нет.

- рассмотрим два состояния системы. Первое, когда груз останавливается и пружина максимально деформирована, . Тогда пружина обладает потенциальной энергией , а кинетическая энергия покоящегося груза равна нулю.

Второе, когда груз проходит через точку равновесия. Тогда его скорость максимальна, и груз обладает кинетической энергией , а пружина не деформирована и ее потенциальная энергия равна нулю.

Решение

Запишем математически сказанное выше. Потерь энергии нет, значит, полная энергия маятника неизменна. Энергия маятника в первый рассмотренный момент времени равна энергии во второй момент. Запишем: . Период колебаний пружинного маятника равен: .

Масса груза задана в условии, максимальную деформацию пружины и период колебаний мы определили по графику, поэтому получили систему уравнений с двумя неизвестными  и , которую остается только решить.

Подведем краткие итоги по повторенному разделу. Для решения задач на механические колебания нужно следующее.

Знать

1) Уравнение гармонических колебаний и величины, которые их характеризуют (амплитуду, частоту, циклическую частоту, фазу, начальную фазу, период).

2) Формулы периода математического и пружинного маятников.

3) Принцип превращения механической энергии в процессе колебательного движения.

Уметь

1) Находить величины, характеризующие колебания, из уравнения гармонических колебаний.

2) Находить период колебаний математического и пружинного маятников.

Понимать

Механические колебания – это движения, которые повторяются через определенные интервалы времени. Протекают вследствие сил, которые стремятся привести тело в состояние равновесия, и вследствие инерции, благодаря которой тело в состоянии равновесия не задерживается.

В упругой среде движение может передаваться от одного тела к другому или от одной точки среды к другой. Этот процесс называется волной. Волна – это изменение некоторой совокупности величин, в том числе периодическое (колебания), распространяющееся в пространстве с течением времени. Важно, что при распространении волны вещество не переносится, но энергия передается.

Мы рассмотрели такие волны, при которых распространяется колебательное движение и каждая точка пространства совершает гармонические колебания. Такая волна имеет те же характеристики, что и колебание: частота, период, амплитуда, а также характеристики, присущие волне: скорость, длина волны.

Скорость волны определяется так же, как скорость в кинематике: это расстояние, на которое распространилась волна за единицу времени. Длина волны – это минимальное расстояние между точками, колеблющимися в одинаковой фазе.

Мы получили формулу для скорости волны: .

Звук тоже является механической волной.

Задача

Из лодки, которая находится в спокойном озере на расстоянии от берега, прыгнул в воду пловец. Волны от его прыжка дошли до берега за . Какое расстояние было между соседними верхушками волн, если за сидящий на берегу наблюдатель насчитал пять всплесков воды?

Анализ условия

- в задаче описаны механические волны. Т.к. речь идет о спокойном озере, наблюдатель не видел других волн, кроме вызванных прыжком.

- искомое расстояние между двумя соседними верхушками волн – это длина волны .

- волна распространяется со скоростью, которая выражается через длину волны  и частоту  по формуле .

- из кинематики мы помним, что, распространяясь с постоянной скоростью, волна за время  проходит путь .

- частота колебания – это, по определению, количество колебаний за одну секунду. Если за секунд было всплесков, то за одну секунду было  всплесков.

Решение

Запишем выше сказанное математически. Скорость волны равна: . Заданное в задаче расстояние от лодки до берега волна проходит за известное время: . Частота волны равна: . Получили систему уравнений, из которой осталось только выразить расстояние  и вычислить его.

Задача

Управляемым реактивным снарядом сделан выстрел, и снаряд полетел к цели со скоростью . Определите время после выстрела, через который человек услышит звук взрыва снаряда. Цель находится на расстоянии .

Анализ условия

- описан полет снаряда к цели и распространение звука взрыва.

- снаряд, по условию, летит равномерно и прямолинейно. Из кинематики мы знаем, что он при этом за время  пролетает расстояние до цели .

- после взрыва звук распространяется в обратном направлении, от цели до места выстрела, и за время  проходит то же расстояние: . Скорость звука в воздухе, т.к. не задано другого значения, считаем равной .

- понятно, что за время между выстрелом и приемом звука взрыва снаряд должен долететь до цели и звук взрыва должен вернуться, то есть .

Решение

В ходе анализа условия мы перечислили уравнения, которыми математически описываются заданные в условии процессы. Запишем их. Снаряд пролетает путь до цели: . Звук взрыва проходит тот же путь в обратном направлении: . Стрелок услышит звук после всего этого: .

Получили систему уравнений, которую остается только решить и получить время .

Подведем промежуточные итоги. Для решения задач, описывающих механические волны, нужно следующее.

Знать

1) Параметры колебательного движения.

2) Определение длины волны.

3) Определение скорости распространения волны.

4) Формулу связи частоты и длины волны: .

Уметь

Определять параметры механической волны.

Понимать

Волна – это распространение колебаний, поэтому она описывается теми же параметрами, что и колебания, а также некоторые, не присущие колебаниям, характеристики: длина волны, скорость распространения волны.

Звук – это механическая волна такой частоты, которую воспринимает человеческое ухо.

Кроме механических колебаний и волн, мы изучили электромагнитные колебания и волны. Как и любые колебания, электромагнитные колебания – это периодическое изменение физических величин: в данном случае напряжения, силы тока, напряженности электрического поля, индукции магнитного поля. Такие колебания возникают в колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных конденсатора и катушки. В колебательном контуре происходит взаимное превращение энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки: .

Период собственных электромагнитных колебаний определяется параметрами колебательного контура: емкостью конденсатора и индуктивностью катушки, и вычисляется по формуле Томсона: .

Электромагнитные колебания могут распространяться и образовывать электромагнитную волну. Она имеет те же характеристики, что и механическая волна, и для нее справедлива формула для скорости: .

Электромагнитные волны в вакууме распространяются с одинаковой скоростью, которая называется скоростью света и равна .

Видимый свет является электромагнитной волной, длина которой в вакууме приблизительно от до .

Задача

Емкость конденсатора переменной емкости во входном колебательном контуре радиоприемника можно изменять от до . Определите емкость дополнительного конденсатора , который нужно подключить параллельно к основному во входящий колебательный контур так, чтобы границы нового диапазона, в котором будет работать приемник, определялись волнами, длины которых отличались бы в три раза.

Какая будет максимальная сила тока в катушке, если ее индуктивность , а контур настроен на минимальную частоту и максимальное напряжение на системе конденсаторов равно ?

Анализ условия

- в задаче описан входной колебательный контур радиоприемника.

- чтобы приемник принимал волну определенной частоты, нужно, чтобы колебательный контур был настроен на ту же частоту. Если собственная частота колебательного контура совпадает с частотой внешнего воздействия (в нашем случае волны), то наблюдается явление резонанса и в колебательном контуре возникнут колебания с большой амплитудой. Поэтому, говоря о частоте волны, будем иметь в виду и частоту свободных колебаний контура.

- длина волны и частота связаны друг с другом формулой для скорости: .

- частота определяется через параметры колебательного контура с помощью формулы Томсона: .

- емкость настроечного конденсатора изменяется от  до , при этом изменяется частота, на которую настроен контур.

- в контуре две емкости, соединенные параллельно, суммарная емкость системы двух конденсаторов равна сумме двух емкостей.

- во втором вопросе задачи спрашивается о максимальном токе через катушку, когда колебательный контур настроен на максимальную частоту. Максимальной частоте соответствует минимальная емкость системы конденсаторов, то есть при значении настроечного конденсатора . Рассмотрим два состояния колебательного контура: когда напряжение на системе конденсаторов максимально – в этот момент система обладает только энергией электрического поля , и когда сила тока в катушке максимальна – в этот момент конденсатор разряжен, энергия электрического поля равна нулю, а энергия магнитного поля максимальна и равна .

- поскольку колебательный контур считаем идеальным, потерь энергии нет.

Решение

Выразим вышесказанное в ходе размышлений математически. В задаче говорится, что при изменении емкости конденсатора изменяется длина волны, на которую настроен приемник. Свяжем длину волны с емкостью конденсатора: .

Тогда в первом случае система конденсаторов, соединенных параллельно, имеет емкость  и контур настроен на длину волны . При изменении емкости настроечного конденсатора система конденсаторов имеет емкость  и контур настроен на длину волны  – по условию задачи. Запишем: .

В колебательном контуре считаем, что нет потерь. Тогда энергия контура не изменяется. Запишем: . Получили систему уравнений, решив которую найдем емкость  и силу тока .

Подведем промежуточные итоги. Для решения задач на электромагнитные колебания и волны нужно следующее.

Знать

1) Формулы для энергии магнитного поля катушки с током и электрического поля заряженного конденсатора.

2) Связь напряжения на конденсаторе и его заряда: .

3) Связь силы тока с зарядом: .

4) Формулу Томсона.

5) Связь длины волны и частоты: .

Уметь

1) Вычислять производную тригонометрических функций.

2) Закон, по которому изменяется заряд, напряжение или сила тока.

Понимать

В колебательном контуре свободно протекают гармонические колебания с определенной частотой и периодом (это взаимно обратные величины). Период свободных колебаний в данном колебательном контуре зависит от емкости конденсатора и индуктивности катушки и определяется по формуле Томсона.

Электромагнитная волна распространяется с постоянной скорость – скоростью света. При совпадении частоты электромагнитной волны с частотой свободных электромагнитных колебаний в контуре наблюдается явление резонанса, в контуре возбуждаются колебания.

Видимый свет достаточно точно описывается моделью, в рамках которой можно считать, что он распространяется прямолинейно, не огибая препятствия, как другие волны, а только изменяя направление на границе двух сред с разной оптической плотностью или на границе зеркальной поверхности. Эту модель использует геометрическая оптика.

Распространение света описывается тремя законами.

1) Закон прямолинейного распространения света: в оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно.

2) Закон отражения: падающий и отраженный лучи и перпендикуляр к отражающей поверхности, опущенный в точку падения луча, лежат в одной плоскости.

Угол падения равен углу отражения.

3) Закон преломления: падающий луч, преломленный луч и перпендикуляр к границе раздела, опущенный в точку падения луча, лежат в одной плоскости.

Отношение синусов угла падения и угла отражения является величиной постоянной для двух данных сред и равняется относительному показателю преломления второй среды относительно первой: .

В другой форме закон преломления можно записать так: .

Законам геометрической оптики подчиняются линзы. Их свойства мы будем использовать при построении изображений, полученных с их помощью.

Связь между фокусным расстоянием линзы , расстоянием от линзы до предмета  и до изображения называется формулой тонкой линзы: .

Фокусное расстояние считается отрицательным, если линза рассеивающая. Расстояние от линзы до изображения считается отрицательным, если изображение мнимое.

Задача

Определите толщину стеклянной плоскопараллельной пластинки, после прохождения которой световой луч смещается на . Угол падения света на пластинку – , оптическая плотность стекла .

Анализ условия

- в задаче описан световой луч, который проходит через стеклянную пластинку.

- оптическая плотность стекла больше оптической плотности воздуха. Значит, на границе воздух-стекло и стекло-воздух луч света будет преломляться.

- преломление света описывается законом Снеллиуса: .

- используя закон преломления, построим ход луча через пластинку. Отметим пунктиром, как шел бы луч, если бы не было преломления. После построения рисунка останется только решить задачу по геометрии.

Решение

Рассмотрим преломление света через границу воздух-стекло. Проведем перпендикуляр к границе раздела сред. Угол падения  нам задан, коэффициенты преломления воздуха  и стекла  известны, применим закон преломления: .

Далее луч распространяется прямолинейно и попадает в точку . В точке луч снова преломляется. Опустим перпендикуляр в точку , отметим угол падения, из рисунка видно, что он равен углу . Применим закон преломления: .

Сравнив с первый уравнением, увидим, что угол  равен начальному углу падения , значит, дальше луч идет параллельно тому направлению, в котором он шел бы без преломления.

Проведем отрезок перпендикулярно обоим прямым, это и будет расстояние , на которое сместился луч. На рисунке – это толщина стеклянной пластинки .

В прямоугольном треугольнике запишем: .

В прямоугольном треугольнике угол равен , т.к. угол равен : .

Получили систему уравнений, решив которую найдем искомую толщину пластинки : .

Задача

На рисунке показана точка , главная оптическая ось линзы, ее оптический центр и фокусы. Постройте изображение точки , полученное с помощью линзы, которая имеет следующий вид.

Анализ условия

- задача на построение изображения, полученного с помощью линзы.

- на рисунке показана линза, толщина которой в центре меньше, чем по краям, значит, линза рассеивающая. Отметим на рисунке.

- изображение точки будет находиться в точке  на пересечении всех лучей, исходящих от точки и прошедших через линзу. Чтобы найти эту точку, нам достаточно двух лучей.

- будем находить ход лучей через линзу, зная ее основные свойства: луч, проходящий через оптический центр линзы, не меняет направления, параллельный пучок лучей пересекается в точке, лежащей на фокальной плоскости (или для рассеивающей линзы расходится так, что продолжения лучей пересекаются в точке, лежащей на фокальной плоскости).

Решение

Итак, приступим к построению. Будем строить изображение по двум лучам. Выберем лучи, ход которых мы можем определить. Первый и самый простой в рассмотрении – это луч, проходящий через оптический центр линзы, он проходит через линзу, не меняя направление. В нашем случае он совпадет с главной оптической осью.

Второй луч возьмем произвольно. Он падает на линзу под углом. Что мы знаем об этом луче? Если бы он был частью параллельного пучка, этот пучок разошелся бы так, что продолжения лучей пересекались в одной точке на фокальной плоскости. В числе лучей из этого пучка был бы луч, проходящий через оптический центр линзы, проведем его. Он не меняет направление и проходит через точку , значит, и луч направлен так, чтобы проходить через эту же точку.

Итак, мы провели лучи и , они расходятся. В точке  пересекутся их продолжения, и мы получим, как всегда в случае рассеивающей линзы, мнимое изображение точки .

Задача

Найдите фокусное расстояние линзы из предыдущей задачи, если , а .

Анализ решения

- задача описывает получение изображения с помощью линзы, будем использовать формулу тонкой линзы.

- – это расстояние от линзы то источника света .

- - это расстояние от линзы до изображения . Изображение мнимое, значит,  отрицательное, .

Решение

Применим формулу тонкой линзы: . Все необходимые значения нам заданы, остается выразить и вычислить фокусное расстояние.

Подведем промежуточные итоги. Для построения изображению, полученных с помощью тонкой линзы, нужно следующее.

Знать

1) Ход луча, проходящего через оптический центр линзы.

2) Ход пучка параллельных лучей в случае собирающей и рассеивающей линзы.

3) Ход пучка лучей, параллельных главной оптической оси для собирающей и рассеивающей линзы.

4) Формулу тонкой линзы.

5) Определения оптической силы и увеличения линзы.

Уметь

1) Выбирать два луча для построения изображения точки.

2) Находить, через какую точку на фокальной плоскости проходит луч, направленный под произвольным углом к главной оптической оси.

3) Определять вид линзы и знак ее фокусного расстояния.

4) Определять вид изображения (действительное или мнимое) и знак расстояния от изображения до линзы.

Понимать

Ход лучей в линзе подчиняется изученным нами ранее законам преломления, однако ими для изогнутой поверхности линзы пользоваться неудобно, поэтому были выявлены закономерности, свойственные именно линзе. Пользуясь этими закономерностями, можно определить ход лучей, прошедших через линзу, и построить изображение источника этих лучей.

Задачи с использованием формулы тонкой линзы – это однотипные задачи по геометрии, поэтому используется готовое универсальное решение.

Раздел оптики, который изучает свет, учитывая его волновую природу, – это волновая оптика. Мы изучили явления интерференции и дифракции. Интерференция – это явление наложения когерентных волн – волн одинаковой частоты с постоянной разностью фаз в данной точке. Если световые волны достигают рассматриваемой точки в одинаковой фазе, то они складываются и наблюдается усиление света. Если в противофазе – они гасят друг друга, и в данной точке свечения не наблюдается.

Для того чтобы охарактеризовать разность фаз колебаний в каждой конкретной точке введена специальная величина – разность хода. Она равна разности пройденных волнами расстояний до данной точки пространства: .

Амплитуда колебаний в данной точке максимальна, если разность хода двух волн, возбуждающих колебания в этой точке, равна целому числу длин волн: , где  – любое целое число.

Амплитуда колебаний в данной точке минимальна, если разность хода двух волн, возбуждающих колебания в этой точке, равна нечетному числу полуволн: , где  – любое целое число.

Дифракция света – это способность световой волны огибать препятствия, размеры которых сравнимы с длиной волны. На данном явлении основан принцип работы дифракционной решетки. Она представляет собой совокупность большого числа (порядка тысячи на ) регулярно расположенных очень узких щелей в пластинке. Лучи, прошедшие через щели, взаимодействуют, и на экране за дифракционной решеткой наблюдается интерференционная картина. Условия максимумов интерференционной картины: , где  – период дифракционной решетки,  – порядок максимума,  – угол, под которым виден максимум.

В объектив фотоаппарата свет проникает с заметными потерями на отражение. Чтобы их избежать, используется метод «просветления оптики». Он заключается в том, что на поверхность линзы наносится тонкий слой материала, оптическая плотность которого больше оптической плотности воздуха и меньше оптической плотности линзы, и тогда в результате интерференции отраженный свет минимизируется.

Задача

Будет ли достигнут желаемый эффект для прямого отражения света с длиной волны , если оптическая плотность пленки равна , а ее толщина – ? Отражение света от оптически более плотной среды происходит с потерей полуволны.

Анализ условия

- в задаче описана интерференция двух лучей.

- первый луч – это отраженный от пленки луч. Пленка имеет оптическую плотность, большую, чем оптическая плотность воздуха. При таком отражении от расстояния, пройденного лучом, отнимается половина длины волны.

- второй луч – это луч, который проходит сквозь пленку, отражается от линзы, и через пленку выходит в воздух. При отражении от линзы луч тоже потеряет половину длины волны, потому что оптическая плотность у линзы больше, чем у пленки.

- таким образом оба луча теряют половину длины волны, поэтому на разность хода эта потеря не повлияет, и ее можно не учитывать.

- разность хода двух лучей – , т.к. луч прошел толщину пленки дважды.

- в пленке с оптической плотностью  скорость света и длина волны уменьшается по сравнению с воздухом в  раз.

Решение

Длина рассматриваемой волны в пленке равна . Она проходит путь . Чтобы узнать, будет ли при взаимодействии лучей интерференционный минимум, нужно определить, сколько полуволн  содержит отрезок .

Получили нечетное число полуволн, значит, при взаимодействии рассмотренных лучей будет наблюдаться интерференционный минимум и отраженного света на данной длине волны не будет.

Задача

Расстояние от дифракционной решетки до экрана . Во время освещения решетки монохроматичным светом с длиной волны расстояние между центральным и первым максимумами на экране равно . Сколько штрихов на миллиметр имеет решетка?

Анализ условия

- в задаче описана дифракция на дифракционной решетке.

- условие интерференционных максимумов выглядит так: .

- решетка на длине  содержит штрихов, значит, шаг дифракционной решетки равен .

- построим рисунок. На экране основной максимум будет наблюдаться четко под решеткой в точке .

Максимум первого порядка в точке будет виден под углом . Расстояние между максимумами .

- из прямоугольного треугольника найдем : .

- т.к. расстояние между максимумами мало, по сравнению с расстоянием от дифракционной решетки до экрана, можем считать, что .

Решение

Запишем математически выше сказанные рассуждения. Применим условие интерференционных максимумов для максимума первого порядка: .

Шаг дифракционной решетки равен: .

С учетом того, что , то есть расстоянию от решетки до экрана, запишем: .

Получили систему уравнений, которую осталось только решить и получить количество штрихов : .

Давайте подведем итоги пройденного раздела. Для решения задач по волновой оптике необходимо следующее.

Знать

1) Понятие интерференции и дифракции света.

2) Понятие дифракционной решетки.

3) Условия минимумов и максимумов интерференционной картины при взаимодействии световых лучей когерентных источников.

4) Условие максимумов интерференционной картины после прохождения света через дифракционную решетку.

Уметь

Применять условие максимумов интерференционной картины после прохождения света через дифракционную решетку при решении задач.

На этом уроке мы повторили:

Механические колебания и волны; Электромагнитные колебания и волны; Геометрическую оптику; Волновую оптику.

На следующем уроке мы рассмотрим элементы теории относительности.