27. Решение задач по теме "Законы постоянного тока" (основной урок)

Закон Ома для участка цепи

Мы продолжаем изучать электричество и сегодня будем решать задачи, описывающие электрический ток – направленное движение заряда. Для протекания электрического тока необходимо три условия: наличие свободных носителей заряда, электрическое поле, приводящее к их движению, и замкнутая цепь.

Рассмотрим участок электрической цепи, состоящей из металла, в котором создано электрическое поле, не интересуясь, чем это поле создано.

Рассматривая электрический ток в цепи, пользуемся тремя основными характеристиками.

Сила тока – это скорость переноса заряда.

Напряжение или разность потенциалов – энергетическая характеристика электрического поля, вызывающего электрический ток. Естественно, чем сильнее приложенное поле, чем больше разность потенциалов, тем быстрее будут двигаться заряженные частицы и тем быстрее они будут переносить заряд, т.е. тем больше будет сила тока.

Сопротивление – характеристика проводящих свойств проводника. Чем больше сопротивление проводника при постоянном напряжении, тем меньше сила тока в нем.

Закон Ома для участка цепи определяет связь между тремя перечисленными характеристиками: 

Сопротивление проводника определяется его геометрическими параметрами и свойствами материала: 

Сопротивление проводников линейно зависит от температуры:

Или 

Где и – сопротивление и удельное сопротивление проводника при температуре,– температурный коэффициент сопротивления.

Электрическое поле выполняет работу по переносу заряда, равную 

Мощность по определению равна скорости выполнения работы: 

Задача

Мощность вольфрамового нагревательного элемента массы, рассчитанного на определенное напряжение, равна при комнатной температуре. За некоторое время работы в нем выделилось количество теплоты. Какой стала мощность прибора, если половина теплоты пошла на нагревание самого элемента?

Анализ условия

- в условии описан нагревательный элемент заданной мощности при комнатной температуре. Затем элемент получил некоторое количество теплоты и нагрелся, удельная теплоемкость вольфрама равна .

- что происходит при нагревании с металлами? Их сопротивление увеличивается по закону, где – сопротивление при комнатной температуре. Температурный коэффициент сопротивления вольфрама равен .

- мощность прибора рассчитывается по формулам . Напряжение по условию не изменяется, зависимость сопротивления от температуры известна, будет использовать третью формулу .

Решение

Запишем математически то, о чем мы говорили. Приняв половину от количества теплоты Q, нагревательный элемент повысит температуру с до t. Запишем: 

При этом сопротивление нагревателя увеличилось: 

Мощность при температуре была равна 

А при температуре стала 

Помним, что напряжение не изменяется.

Получили систему уравнений, решив которую, найдем искомую мощность: 

 Свертка. Математическая часть решения задачи.

Выразим из первого уравнения разность температур:

Подставим ее во второе уравнение:

Подставим полученное сопротивление в четвертое уравнение:

Здесь – это мощность прибора при комнатной температуре (из третьего уравнения), тогда: 

Проведем вычисления: 

Подведем промежуточные итоги. Для решения задач, подобных рассмотренным, нужно:

Знать

1) закон Ома для участка цепи;

2) типы соединений проводников;

3) связь сопротивления проводников с геометрическими параметрами;

4) зависимость сопротивления проводников от температуры;

5) формулы для определения работы по переносу заряда при протекании тока;

6) определение мощности как скорости выполнения работы.

Уметь

1) определять участок цепи и применять к нему закон Ома;

2) определять сопротивление проводника.

Понимать

Напряжение или разность потенциалов является причиной электрического тока. Сопротивление проводника зависит от геометрических параметров проводника и от особенностей его атомного строения. Сопротивление показывает способность проводника препятствовать прохождению тока.

Конденсаторы

Конденсатор – электронный прибор, способный накапливать электрический заряд и вместе с тем энергию электрического поля (лат. condensatio – накопление).

Способность конденсатора накапливать заряд характеризует электроемкость. Электроемкость по определению равна заряду, который вмещает конденсатор при повышении напряжения на обкладках на: 

Обкладки конденсатора могут быть разной формы (рисунок). Электроемкость плоского конденсатора рассчитывается по формуле: 

Здесь – электрическая постоянная, – диэлектрическая проницаемость среды между обкладками конденсатора, площадь обкладок,  – расстояние между ними.

Электрическое поле заряженного конденсатора обладает энергией, которая равна: 

Стоит запомнить одно из выражений, а остальные два легко получить, используя определение электроемкости .

Приступим к решению задач.

Задача

Пластины плоского воздушного конденсатора имеют форму половинок круга диаметром 10 см. Расположены они на расстоянии 0,5 мм. Конденсатор подключен к источнику питания с напряжением 120 В. Определите заряд, который пройдет через источник питания при заполнении конденсатора диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 7.

Анализ условия

- в задаче описан конденсатор с заданными геометрическими параметрами. Емкость конденсатора зависит от его параметров: .

- изменяется среды между обкладками (для воздуха считаем), изменится и емкость.

- обкладки конденсатора представляют собой половину круга, поэтому их площадь равна .

- по определению емкость конденсатора равна заряду, который он принимает, когда напряжение на его обкладках увеличивается на: .

- при изменении емкости конденсатора изменится заряд на обкладках, потому что напряжение останется постоянным: конденсатор подключен к источнику питания с постоянным напряжением.

- заряд, на величину которого изменится заряд обкладок конденсатора, пройдет через источник, это и есть искомая величина.

Решение

До внесения диэлектрика емкость конденсатора была равна

 (диэлектрическая проницаемость воздуха) или 

После внесения диэлектрика с диэлектрической проницаемостью емкость конденсатора стала равна: 

Или 

Напряжение, как мы уже обсудили, не поменялось, а заряд изменился на искомую величину

Получили систему уравнений, решив которую найдем: 

Свертка. Математическая часть решения задачи.

Выразим из второго и четвертого уравнения и:

Подставим в пятое уравнение: 

Подставим емкости из первого и третьего уравнений:

Вычислим: 

Подведем промежуточные итоги. Для решения задач, рассматривающих конденсаторы, нужно:

Знать

1) Определение электроемкости.

2) Формулу для вычисления электроемкости плоского конденсатора.

3) Формулу для вычисления энергии электрического поля заряженного конденсатора.

Уметь

1) Определять, какие параметры остаются постоянными в разных случаях (например, конденсатор отключен, т.е. он изолирован, нет утечек заряда,, или конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения,).

Понимать

Конденсатор – устройство, которое позволяет накапливать заряд на его обкладках. Количество заряда, которое можно поместить на обкладки конденсатора если подать на них некоторую разность потенциалов характеризуется электрической ёмкостью конденсатора. Внутри заряженного конденсатора, между его обкладками, возникает однородное электрическое поле, обладающее потенциальной энергией.

Расчет параметров электрических цепей

Электрическая цепь – это совокупность устройств, образующих путь для электрического тока. Элементы электрической цепи могут быть соединены сложным образом, возможно множество разветвлений, но все соединения можно свести к двум простейшим: последовательному и параллельному соединениям, и их комбинациям.

Участок цепи, состоящий из неким образом соединенных сопротивлений и включенный в общую цепь в двух точках, можно считать одним прибором, имеющим свое обобщенное сопротивление.

При последовательном соединении

Cила тока в цепи равна силе тока через каждое сопротивление: 

Сопротивление участка цепи равно сумме сопротивлений каждого подключенного резистора: 

Напряжение на участке цепи равно сумме напряжений на каждом резисторе: 

При параллельном соединении ток разветвляется.

Общий ток через участок цепи равен сумме токов, на которые он разветвился: 

Напряжение на рассматриваемом участке цепи равно напряжению на каждом элементе: 

Сопротивление участка цепи рассчитывается по следующей формуле.

Для двух сопротивлений запишем:

Используя записанные выражения для последовательного и параллельного соединений проводников и закон Ома, можем рассчитывать параметры электрических цепей.

Подробнее эти формулы объясняются на уроке, посвященном расчету электрических цепей.

Задача

К цепи, состоящей из трех одинаковых резисторов, прикладывают поочередно одинаковое напряжение при разных соединениях резисторов. При каком соединении резисторов сила тока через источник будет наибольшей?

Анализ условия

- в условии задана электрическая цепь, к которой приложено напряжение, значит, будем применять закон Ома для участка цепи: , где – сопротивление всего участка цепи.

- по условию задачи фиксировано, оно не зависит от подключенной цепи.

- сила тока будет зависеть от, которое будет разное при разных вариантах подключения. Наибольшая сила тока при наименьшем. Задача сводится к поиску схемы с наименьшим сопротивлением.

Решение

Обозначим сопротивление каждого резистора. Внешнюю цепь можно считать эквивалентной некоторому составному резистору сопротивлением.

1. На первой схеме имеем резистор, к которому последовательно подключен составной резистор, состоящий из двух параллельно соединенных резисторов и.

Мы знаем формулы для параллельного и последовательного соединения, поэтому запишем:

2. На второй схеме цепь сразу разветвляется на две параллельные цепи. Одна содержит резистор, вторая – составной резистор, содержащий резисторы и, соединенные последовательно.

Запишем сопротивление составного резистора:

Полное сопротивление – это сопротивление параллельных проводников:

3. представляет собой три последовательно соединенных сопротивления, их суммарное сопротивление равно:

4. Схема состоит из сопротивления, к которому последовательно подключено сопротивление, состоящее из резисторов, соединенных параллельно. Схема повторяет схему №1,.

Наименьшее сопротивление, а значит и наибольшую силу тока через источник имеет схема 2.

Задача

Найти напряжение на участке цепи АВ, если амперметр показывает, а сопротивления резисторов равны.

Анализ условия

- задана электрическая цепь, состоящая из сопротивлений и не содержащая источника ЭДС. Напряжение приложено внешним источником, который в задаче не рассматривается, значит, нашим основным инструментом будет закон Ома для участка цепи, причем применять его мы можем для любого выбранного участка.

- участок цепи, состоящий из резисторов, соединенных параллельно или последовательно, мы можем считать одним резистором, сопротивление, напряжение и силу тока через который мы рассчитываем по известным нам формулам для параллельного и последовательного соединений.

Решение

В задаче заданы сопротивления резисторов и сила тока.

Будем применять закон Ома для всего заданного участка цепи, считая его одним элементом (поскольку искать будем напряжение на всем этом участке).

Этот участок цепи состоит из трех последовательно соединенных элементов.

Для последовательного соединения запишем:

Для каждого из трех участков запишем закон Ома:

Второй участок состоит из двух параллельно соединенных сопротивлений и. Запишем для параллельного соединения:

Применим к каждому элементу закон Ома:

Получили большую систему из 12 уравнений, но уравнения простые, и систему несложно преобразовать.

Из уравнения (1) искомое напряжение равно:

Из уравнений (2) и (8) сопротивление равно:

Из уравнений (3) и (9) запишем:

Сила тока задана, а выразим из уравнения (11), учитывая, что согласно (10) и (12):

Осталось довести до конца решение полученной упрощенной системы уравнений:

Свертка. Математическая часть решения задачи.

Подставим из четвертого уравнения в третье: 

Подставим силу тока и сопротивление в первое уравнение: 

Подставим числовые значения: 

Решая задачу, мы делали очень простую вещь: применяли закон Ома для разных участков заданной цепи и формулы для параллельного и последовательного соединения сопротивлений. Мы записывали всё подробно, но после решения нескольких задач вы сможете записывать уравнения сразу с учетом того, что, например, в такой цепи (рисунок) сила тока через любое сопротивление – это и есть сила тока в цепи, а в такой (рисунок) напряжение на любом сопротивлении и есть сопротивление на участке цепи. Это простые вещи, которые будет несложно сразу видеть.

Подведем промежуточные итоги. Для решения задач на расчет параметров электрических цепей нужно:

Знать

1) Закон Ома для участка цепи.

2) Формулы для параметров при последовательном и параллельном соединении.

Уметь

1) Выделять участки цепи, для которых, считая их одним элементом, рассчитывать параметры.

Понимать

Решение подобных задач сводится к записи системы уравнений, используя закон Ома для разных участков заданной цепи и формулы для параллельного и последовательного соединения сопротивлений. Участки цепи выбираются так, чтобы записать связь между участками с известными и искомыми величинами.

Закон Ома для полной цепи

Закон Ома для участка цепи подразумевает, что мы не интересуемся, чем создано электрическое поле в этом участке цепи, не интересуемся источником.

Рассмотрим замкнутую цепь, включающую в себя источник питания.

На полюсах источника будет положительный и отрицательный потенциалы. Чтобы заряд прошел полный цикл по замкнутой цепи, он должен пройти через источник, а внутри источника поле ориентировано таким образом, что оно действует на него с силой, направленной против перемещения. Должна быть совершена работа по перемещению заряда против этой силы.

Эта работа совершается электродвижущей силой (ЭДС). Если напряжение – это работа по перемещению единичного заряда через участок цепи (

), то ЭДС – это работа по перемещению единичного заряда через всю цепь ().

Источник ЭДС, как и любое тело, также имеет сопротивление, его вещество также не пропускает ток беспрепятственно, поэтому в полной цепи к сопротивлению внешнего участка прибавляется сопротивление источника, которое при разработке источников ЭДС стремятся сделать как можно меньшим.

Закон Ома для полной цепи выглядит так: 

Задача

Во время выполнения лабораторной работы ученик с помощью амперметра дважды определил силу тока на внешнем участке электрической цепи. Определите по данным опыта внутреннее сопротивление источника ЭДС.

Анализ условия

- в задаче описаны две электрические цепи, содержащие источник ЭДС. Речь идет о внутреннем сопротивлении источника, значит источник ЭДС не идеальный. Известна сила тока в цепи в обоих случаях.

- к такой цепи применИм закон Ома для полной цепи.

- будем применять его для каждого варианта подключения.

Решение

ПримЕним закон Ома для полной цепи для двух вариантов подключения, учитывая, что источник ЭДС один и тот же с ЭДС и внутренним сопротивлением.

Внешняя цепь в первом случае – это резистор сопротивлением. Во втором случае внешняя цепь – это два резистора, соединенных последовательно, их сопротивление равно.

Получили систему уравнений 

Осталось решить систему и вычислить внутреннее сопротивление источника.

Свертка. Математическая часть решения задачи.

Выразим из первого уравнения ЭДС:

Подставим во второе уравнение:

Подставим числовые значения и вычислим: 

Подведем итоги пройденного раздела. Для решения задач, рассматривающих полную электрическую цепь, включающую источник питания, нужно:

Знать

1) Закон Ома для полной цепи.

Уметь

1) Рассчитывать сопротивление внешней цепи.

2) Применять закон Ома для полной цепи для частных случаев: идеальный источник ЭДС (), короткое замыкание ().

Понимать

Силовые линии электрического поля не замкнутые, они начинаются и заканчиваются на зарядах, поэтому движение электрического заряда, т.е. электрический ток, невозможно только под действием электрического поля без действия внешних сил. Эта внешняя сила (ЭДС) создается в источниках ЭДС и выполняет работу по перемещению заряда через электрическую цепь.

Ток в разных средах

Электрический ток – это направленное движение заряда. Три условия его существования: наличие свободных носителей заряда, наличие электрического поля, заставляющего носители заряда двигаться, и замкнутая цепь.

Ток может протекать в разных средах, которые имеют свои особенности: тип свободных носителей заряда, их количество в данной среде и откуда они берутся, особенности строения среды и их влияние на прохождение тока.

Более подробно эти вопросы рассматривались на уроках, посвященных изучению тока в разных средах, и сейчас мы остановимся на основных моментах.

В металлах каждый атом легко покидают один или два электрона, которые становятся свободными носителями заряда. Таким образом, свободных электронов в металлах много, приблизительно столько же, сколько атомов, и металлы являются проводниками.

В растворах электролитов свободными носителями заряда являются положительно и отрицательно заряженные ионы, образовавшиеся вследствие электролитической диссоциации: распада полярной молекулы вещества на ионы под действием полярного растворителя, чаще всего используется вода. Вследствие того, что носителем заряда является атом или группа атомов, электрический ток сопровождается переносом вещества и осаждением его на электродах.

Массу осажденного вещества можно найти, воспользовавшись законом Фарадея: 

Где – молярная масса иона, – валентность иона. Эту формулу на соответствующем уроке мы получили сами в ходе решения задачи, и можно ею пользоваться в готовом виде.

В газах свободными носителями заряда являются ионы и свободные электроны, образовавшиеся в процессе ионизации. В нормальных условиях атомы и молекулы газа электрически нейтральны, но получив энергию под воздействием внешнего фактора, они могут потерять электрон, который станет свободным, и вследствие этого приобрести положительный заряд.

Внешним фактором может быть столкновение с частицей, электромагнитное излучение, химическая реакция и т.д.

В вакууме свободными носителями заряда являются электроны, попавшие в вакуум в результате электронной эмиссии с поверхности электрода. Чтобы электрон покинул электрод, он должен обладать достаточной для этого энергией, которую можно сообщить ему путем нагревания, освещения, бомбардировки электронным пучком, воздействия электрического поля и т.д. Далее электрон движется под действием электрического поля между электродами, подчиняясь известным нам законам электростатики.

В полупроводниках свободными носителями заряда являются свободные электроны и дырки, образовавшиеся в результате разрыва ковалентной связи между атомами вещества. Дырка – это положительно заряженное вакантное место, оставшееся после покинувшего атом электрона, и способное менять свое расположение подобно свободному месту в очереди, что эквивалентно движению положительно заряженной частицы.

При повышении температуры возрастает количество разрушенных связей между атомами, соответственно возрастает количество свободных носителей заряда и уменьшается сопротивление полупроводника. Влияние примесей на протекание тока в полупроводниках вы можете вспомнить, просмотрев соответствующий раздел предыдущего урока.

Задача

В процессе электролиза из водного раствора соли серебра выделилось 4,5 г металлического серебра. Какой заряд прошел через электролит, если электрохимический эквивалент серебра равен ?

Анализ условия

- в задаче описан процесс электролиза, будем применять закон Фарадея: масса вещества, выделившегося в процессе электролиза, равна.

- в формуле выше – это электрохимический эквивалент, который нам сразу задан в условии.

- сила тока по определению равна скорости переноса заряда.

Решение

Т.к. в условии задан электрохимический эквивалент, запишем закон, по которому протекает электролиз, в виде: 

Сила тока по определению равна, тогда: 

Остается выразить заряд:

Задача

На рисунке изображены три электролитические ванны. В какой ванне на катоде выделится наибольшее количество меди?

Анализ условия

- в задаче описан процесс электролиза, будем применять закон Фарадея: масса вещества, выделившегося в процессе электролиза, равна.

Решение

За счет чего может отличаться масса выделившейся на электроде меди? Очевидно, что будучи включенными в одну цепь, электролитические ванны работали на протяжении одного и того же времени.

Ванны соединены последовательно, при последовательном соединении сила тока во всех ваннах одинакова:.

Посмотрим на величины, входящие в электрохимический эквивалент. – не зависящие ни от чего константы, они не меняются. Молярная масса определена для элемента, у нас в каждой ванне рассматривается медь.

Остается валентность. Атом металла может иметь разные валентности в зависимости от соединения, в состав которого он входит. В первой ванне валентность кислотного остатка 2, в таблице растворимости находим ион. Кислотный остаток соединяется с одним атомом меди, значит, ион меди имеет заряд . Во второй ванне валентность меди тоже, потому что каждый атом меди соединяется с двумя атомами хлора, имеющего валентность 1. В третьей ванне валентность меди, т.к. каждый атом меди соединяется с одним одновалентным атомов хлора.

Итак, кроме валентности меди, все величины одинаковы для трех ванн, поэтому больше всего меди выделится в той ванне, в которой валентность меди меньше: в третьей ванне.

Подведем итоги пройденного раздела. Для рассмотрения тока, протекающего в разных средах, нужно:

Знать

1) Условия существования электрического тока.

2) Механизмы протекания тока в разных средах.

3) Что является свободным носителем заряда в разных средах.

Понимать

Проводящие свойства разных сред определяются наличием в среде свободных носителей заряда и способом их образования.

Заключение

На этом уроке мы решали задачи по теме «Законы постоянного тока» и повторили:

закон Ома для участка цепи; закон Ома для полной цепи; конденсаторы; ток в разных средах.

Теперь вы можете решать задачи на законы постоянного тока.

На следующем уроке мы начнем изучение темы «Магнетизм» и рассмотрим:

магнитное поле; постоянные магниты и электромагнитны;

воздействие магнитного поля на движущийся заряд.

Ссылки на уроки Интернетурока по рассмотренным темам

1. http://interneturok.ru/ru/school/physics/8-klass/belektricheskie-yavleniyab/elektricheskiy-tok-istochniki-elektricheskogo-toka-grebenyuk-yu-v?seconds=0

2. http://interneturok.ru/ru/school/physics/8-klass/belektricheskie-yavleniyab/elektricheskiy-tok-istochniki-elektricheskogo-toka-eryutkin-e-s?seconds=0

3. http://interneturok.ru/ru/school/physics/8-klass/belektricheskie-yavleniyab/elektricheskaya-tsep-i-ee-sostavnye-chasti?seconds=0

4. http://interneturok.ru/ru/school/physics/8-klass/belektricheskie-yavleniyab/elektricheskiy-tok-v-metallah-deystviya-elektricheskogo-toka-napravlenie-toka?seconds=0

5. http://interneturok.ru/ru/school/physics/8-klass/belektricheskie-yavleniyab/raschyot-soprotivleniya-provodnika-udelnoe-soprotivlenie?seconds=0

6. http://interneturok.ru/ru/school/physics/8-klass/belektricheskie-yavleniyab/elektricheskoe-soprotivlenie-zakon-oma-dlya-uchastka-tsepi-grebenyuk-yu-v?seconds=0

7. http://interneturok.ru/ru/school/physics/8-klass/belektricheskie-yavleniyab/reshenie-zadach-na-temu-elektricheskoe-soprotivlenie-zakon-oma?seconds=0

8. http://interneturok.ru/ru/school/physics/8-klass/belektricheskie-yavleniyab/reshenie-zadach-po-teme-smeshannoe-soedinenie-provodnikov?seconds=0

9. http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/osnovy-elektrodinamiki/zakon-oma-dlya-uchastka-tsepi-soprotivlenie-variant-1-eryutkin-e-s?seconds=0

10. http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/osnovy-elektrodinamiki/zakon-oma-dlya-uchastka-tsepi-soprotivlenie-variant-2-ivanova-m-g?seconds=0

11. http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/osnovy-elektrodinamiki/posledovatelnoe-i-parallelnoe-soedinenie-rezistorov?seconds=0

12. http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/osnovy-elektrodinamiki/elektrodvizhuschaya-sila?seconds=0

13. http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/osnovy-elektrodinamiki/zakon-oma-dlya-polnoy-tsepi?seconds=0

14. http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/osnovy-elektrodinamiki/reshenie-zadach-na-temu-zakony-postoyannogo-toka?seconds=0

15. http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/undefined-1/reshenie-zadach-po-teme-elektricheskiy-tok-v-zhidkostyah?seconds=0