44. Решение задач по теме “Законы сохранения” (основной урок)

Выбор нужного закона сохранения при решении задач

Любая задача, ситуация – это модель реально происходящего.

Мы всегда делаем некоторые допущения, чем-то пренебрегаем. Так, применяя второй закон Ньютона, не учитываем действие сил, намного меньших в сравнении с рассматриваемыми. Например, рассматривая падение тела, считаем притяжение Луны и других небесных тел равным нулю. Мы всегда выделяем некую интересующую нас систему тел и считаем, что действие других тел, полей на эту систему мало в сравнении с телами, принадлежащими выделенной системе.

Выделенная система тел, взаимодействие которых рассматривается в задаче, называется замкнутой системой. Часто оговаривается особо, что некоторыми взаимодействиями между телами системы можно пренебречь (например, трением). Мы можем им пренебречь, когда сила трения мала или когда она действует на протяжении малого промежутка времени.

В замкнутой системе тел выполняется закон сохранения импульса: суммарный импульс замкнутой системы тел не изменяется. . Импульс тела изменяется под действием силы: .

Для сохранения импульса в системе должны действовать только силы, с которыми тела взаимодействуют внутри. Внешние силы должны быть пренебрежимо малы, должны уравновешиваться или должны действовать на протяжении малого промежутка времени. Таким образом, если два тела взаимодействуют, то импульс одного тела увеличивается на , а импульс второго на столько же уменьшается. Их суммарный импульс не изменяется.

Сумма внешних сил равна нулю, значит, тела взаимодействуют только друг с другом. Это может быть упругое и неупругое столкновение, это может быть взрыв снаряда, главное – взаимодействие внутри системы. Да, при взрыве высвобождается энергия взрыва, но в законе сохранения импульса нас интересует то, что при взрыве осколки были разбросаны взрывом, они через продукты горения отталкиваются друг от друга, значит, взаимодействие происходит внутри системы, внешних сил нет. Можем применить закон сохранения импульса: суммарный импульс осколков равен импульсу снаряда до разрыва.

Если система не замкнута, т.е. действует внешняя сила, то импульс системы меняется на .

Для выполнения закона сохранения полной механической энергии необходима более строгая модель: замкнутая система, в которой действуют только консервативные силы. Если работа выполняется консервативными силами (это силы, работа которых не зависит от траектории, из изученных к таковым относятся сила тяжести и сила, возникающая при упругой деформации), то энергия преобразуется из кинетической в потенциальную или наоборот. Т.е. выполняется закон сохранения полной механической энергии: в изолированной системе, в которой действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется.

Если работа выполняется неконсервативными силами (это сила трения, силы, возникающие при неупругой деформации, действующие при взрыве), закон сохранения полной механической энергии не выполняется. Энергия преобразовывается из механической в другие виды и наоборот.

Например, механическая энергия преобразовывается в тепловую при действии силы трения или энергия химических связей взрывчатки преобразовывается в механическую энергию. Механическая энергия системы не сохраняется, но сохраняется полная энергия. Изменение механической энергии равно изменению внутренней энергии с противоположным знаком. Таким образом, для такой модели применим закон сохранения полной энергии.

Обратите внимание, что при применении законов сохранения нас интересует результат: система находилась в одном состоянии, с одними значениями импульса и энергии, и в результате взаимодействия перешла во второе состояние, с новыми значениями импульса и энергии. Если же нас интересует процесс – значения ускорения, времени взаимодействия, значение силы и перемещения, работы отдельной силы, тогда используем уже хорошо известные нам законы динамики и кинематики.

Применим наши знания при решении задач.

Задача

Охотник стреляет из ружья с движущейся лодки по направлению ее движения. С какой скоростью двигалась лодка, если она остановилась после двух быстро следующих друг за другом выстрелов? Масса охотника с лодкой , масса заряда . Скорость вылета пули и пороховых газов .

Анализ условия

• задача на движение и взаимодействие тел: пули и лодка с охотником отталкиваются друг от друга и изменяют свои скорости;

• будем применять законы сохранения;

• выстрелы произведены быстро друг за другом, значит, рассматривается короткий промежуток времени, на протяжении которого силы трения не успели внести свой вклад;

• во время выстрелов высвобождается энергия горения пороха, закон сохранения полной механической энергии не выполняется;

• пули и ружье вместе с лодкой отталкиваются друг от друга через пороховые газы, значит, систему считаем замкнутой и применяем закон сохранения импульса.

Решение

Выберем систему координат. Движение одномерное, удобно направить координатную ось по ходу движения.

До выстрелов вся система массы  двигалась со скоростью . Массой пуль можем пренебречь по сравнению с массой лодки с охотником.

После выстрелов скорость лодки по условию задачи стала равна нулю, а каждая пуля приобрела скорость .

Запишем закон сохранения импульса: .

В проекции на выбранную ось координат: .

Остается только выразить и вычислить , не забыв перевести массу пули в СИ.

Как бы решалась задача, если бы охотник не плыл на лодке, а стоял на земле? Возникала бы большая сила трения, но решение задачи не изменилось бы. Выстрел производится за короткий промежуток времени, за это время происходит взаимодействие, охотник приобретает скорость. Сила трения за такой короткий промежуток времени не успевает повлиять на характер движения. Если мы рассмотрим движение охотника после выстрела, то на него трение влияет. При небольшой силе трения, действующей на лодку, лодка будет замедляться медленно. При стрельбе стоя на земле, сила трения большая, охотник замедлится стремительно, его движение будет лишь кратковременным отклонением назад – отдача.

Решение задач. Неупругое столкновение

Задача

На вагонетку массой 50 кг, катящуюся по горизонтальному пути со скоростью , насыпали сверху 200 кг щебня. На сколько при этом уменьшилась скорость вагонетки?

Анализ условия

• есть вагонетка и щебень в двух состояниях: до погрузки и после;

• после погрузки вагонетка и щебень движутся как одно целое с одной скоростью;

• рассматривается скорость непосредственно до и непосредственно после погрузки; считаем, что сила трения за короткое время не изменяет импульс системы;

• будем применять закон сохранения импульса;

• взаимодействие неупругое, есть неконсервативные силы, поэтому закон сохранения полной механической энергии не выполняется.

Решение

Выберем систему координат. Движение одномерное, ось координат удобно направить по ходу движения вагонетки.

Так как щебень до погрузки не двигался, импульс системы был равен импульсу вагонетки массы , движущейся со скоростью .

После погрузки вагонетка вместе со щебнем движется со скоростью .

Запишем закон сохранения импульса: . В проекции на выбранную ось координат: . При этом скорость уменьшилась на .

Получили систему уравнений, которую осталось решить и выразить :

.

Свертка. Математическая часть решения задачи

Выразим из первого уравнения скорость : .

Подставим во второе уравнение и найдем .

Задача

Определите количество теплоты, которое выделилось во время абсолютно неупругого столкновения двух одинаковых шариков массой 2 кг каждый, если первый до столкновения двигался со скоростью , а второй покоился.

Анализ условия

• описывается абсолютно неупругое столкновение, ничего не говорится о внешних силах, значит, будем применять закон сохранения импульса;

• при неупругом столкновении возникают неконсервативные силы, значит, часть механической энергии преобразуется в тепловую. Ее нам и нужно найти, поэтому будем применять закон сохранения полной энергии.

Решение

Выберем систему координат. Движение одномерное, ось координат удобно направить по ходу движения шариков.

Импульс системы до столкновения – это импульс шарика, который двигался со скоростью .

После столкновения импульс системы – это импульс сцепленных шариков, которые движутся со скоростью .

Запишем закон сохранения импульса: . В проекции на выбранную ось координат: . Кинетическая энергия шарика до удара преобразовалась в кинетическую энергию сцепленных шариков после удара и в тепловую энергию . Запишем это математически: .

Получили систему уравнений, решив которую найдем количество теплоты : 

.

Свертка. Математическая часть решения задачи

Выразим из первого уравнения скорость после столкновения: .

Подставим во второе уравнение и выразим .

Решение задач. Работа силы трения

Задача

Горизонтальная поверхность разделена на две части: гладкую и шероховатую. На границе этих частей находится кубик массой . Со стороны гладкой части на него по горизонтали налетает металлический шар массой , движущийся со скоростью . Определите расстояние , которое пройдёт кубик до остановки после абсолютно упругого центрального соударения с шаром. Коэффициент трения кубика о поверхность .

Анализ условия

Задача на движение и столкновение – потребуются законы сохранения.

• кинетическая энергия шара вычислима;

• столкновение шара и кубика будем описывать с помощью закона сохранения импульса и закона сохранения энергии, т.к. сразу после столкновения сила трения не успеет повлиять на движение, систему можно считать замкнутой;

• столкновение абсолютно упругое, значит, скорости шариков после удара будут разными;

• остановка кубика произойдет тогда, когда вся полученная им кинетическая энергия истратится на трение: работа силы трения равна уменьшению кинетической энергии.

Решение

Выберем систему координат. Движение одномерное, ось координат удобно направить по ходу движения шарика.

Мы обсудили законы, которые будем применять, теперь их запишем применительно к нашей задаче. Закон сохранения импульса: .

И в проекции на выбранную ось координат: .

Закон сохранения энергии: энергия системы до удара (до удара кинетической энергией обладал только шарик) равна энергии системы после удара (после удара кинетической энергией обладали оба тела).

Энергия кубика после взаимодействия уменьшится до нуля, она преобразуется в тепловую энергию. Изменение  равно работе неконсервативной силы – силы трения: .

Работа по определению равна силе, умноженной перемещение. В нашей задаче на горизонтальной поверхности сила трения в проекции на ось равна , перемещение до остановки равно (положительно, направлено в ту же сторону, что и ось ).

Работа получилась со знаком минус, кинетическая энергия уменьшается. Получили систему уравнений: .

Остается только решить систему и найти расстояние .

Свертка. Математическая часть решения задачи

Выразим  из первого уравнения .

Подставим во второе.

Вместе с  имеем . Отсюда выразим .

И теперь, подставив в третье уравнение, будем иметь: .

Решение задач. Закон сохранения механической энергии

Задача

Лыжник скатывается с горы высоты и с разгона (без дополнительных усилий) въезжает на меньшую гору высоты . Какова его скорость  на вершине малой горы? Трением можно пренебречь.

Анализ условия

• задача на движение под действием только силы тяжести (лыжник ехал без усилий, трения нет);

• применить законы динамики трудно: мы не знаем траектории движения, не знаем направления скорости и ускорения в каждый момент времени;

• в задаче рассматривается начальное и конечное состояние лыжника. При переходе из одного состояния в другое на него действует сила тяжести – консервативная сила, поэтому можем применять закон сохранения полной механической энергии.

Решение

Примем уровень нулевой потенциальной энергии в нижней точке траектории движения лыжника, от которой отсчитываются высоты горок.

В начальный момент лыжник покоился на высоте большей горы, обладал потенциальной энергией; в конечный момент двигался на вершине меньшей горы, обладал потенциальной и кинетической энергией. Запишем закон сохранения энергии: .

Разделим обе части на массу, все остальные величины известны, поэтому можем найти скорость:

.

Задача

Брусок массой  соскальзывает по наклонной плоскости с высоты  и, двигаясь по горизонтальной поверхности, сталкивается с неподвижным бруском массой . В результате абсолютно неупругого соударения общая кинетическая энергия брусков становится равной 2,5 Дж. Определите высоту наклонной плоскости . Трением при движении пренебречь. Считать, что наклонная плоскость плавно переходит в горизонтальную.

Анализ условия

• процесс, описанный в задаче, можно разбить на два этапа: брусок соскальзывает с горки и брусок сталкивается со вторым бруском;

• первый этап описывает начальное положение первого бруска на горке высоты h и конечное положение у подножия горки. Трения нет, система замкнутая, будем использовать закон сохранения механической энергии. Уровень нулевой потенциальной энергии удобно принять на уровне подножия горки;

• неупругое столкновение опишем, используя закон сохранения импульса;

• заданная в условии кинетическая энергия после столкновения по определению равна .

Решение

Выберем систему координат. В момент столкновения брусков движение одномерное, ось координат удобно направить по ходу движения брусков.

В выбранной системе координат запишем условие задачи математически. По закону сохранения энергии, механическая энергия при спуске оставалась постоянной: . По закону сохранения импульса, запишем: импульс системы до удара (импульс первого бруска, т.к. он двигался) равен импульсу системы после удара (импульс столкнувшихся шариков).

По определению кинетической энергии запишем: . Получили систему уравнений, решив которую получим высоту : .

Свертка. Математическая часть решения задачи

Выразим из первого уравнения высоту: . Выразим из второго уравнения скорость первого бруска до удара: . И подставим в уравнение для высоты: .

Получим из третьего уравнения  и подставим в выражение для высоты.

Решение задач. Динамика

Задача

Груз массой 25 кг висит на шнуре длиной 2,5 м. На какую наибольшую высоту можно отвести в сторону груз, чтобы при дальнейших свободных качаниях шнур не оборвался? Максимальная сила натяжения, которую выдерживает шнур, не обрываясь, равна 550 Н.

Анализ условия

• груз движется под действием силы тяжести – консервативной силы;

• сила натяжения нити работу не совершает – в любой момент времени перемещение перпендикулярно нити;

• будем использовать закон сохранения механической энергии;

• в начальный момент времени груз отведен на некоторую высоту, значит, имеет потенциальную энергию;

• в нижней точке траектории груз имеет кинетическую энергию ;

• груз движется по окружности с центростремительным ускорением под действием силы тяжести и силы натяжения нити – будем применять второй закон Ньютона;

• максимальная сила натяжения будет тогда, когда будет максимальным центростремительное ускорение и, соответственно, линейная скорость груза.

Решение

Примем уровень нулевой потенциальной энергии в нижней точке траектории груза. Тогда в этой точке груз будет обладать только кинетической энергией.

Запишем закон сохранения энергии: . В нижней точке траектории будем применять второй закон Ньютона. Обозначим на рисунке все силы, действующие на груз, и ускорение, с которым он движется. Ось координат удобно направить вдоль ускорения.

Запишем второй закон Ньютона: . В проекции на ось y и с учетом того, что центростремительное ускорение равно , запишем: . Осталось только решить систему уравнений и найти высоту : .

Свертка. Математическая часть решения задачи

Выразим из второго уравнения : . Подставим в первое уравнение и выразим высоту.

Подведем итоги. Для решения задач на законы сохранения необходимо следующее.

Знать

1) Закон сохранения импульса и границы его применения.

2) Закон сохранения полной механической энергии и границы его применения.

3) Законы динамики Ньютона.

Уметь

1) Определять, замкнута ли система и можно ли применять тот или иной закон сохранения.

2) Выбирать удобный уровень нулевой потенциальной энергии.

3) Применять законы Ньютона.

Понимать

Законы сохранения применимы, когда описывается движение и взаимодействие тел. Суммарный импульс системы сохраняется, когда на систему не действуют внешние силы. Полная механическая энергия сохраняется, когда в системе выполняют работу консервативные силы. Если есть неконсервативные силы, часть механической энергии равная работе этих сил, преобразуется в тепловую, тогда мы говорим о законе сохранения полной энергии.

Заключение

На этом уроке мы изучили:

• Применение законов сохранения при решении задач;

• Решение комбинированных задач на законы сохранения и законы Ньютона;

Теперь вам остается закрепить навыки решения таких задач.

На следующем уроке мы повторим и обобщим наши знания по теме «Статика. Законы сохранения» и продолжим решение задач.

Ссылки на уроки InternetUrok.ru по рассмотренным темам:

1. Урок «Энергия. Закон сохранения энергии» (физика, 7 класс, раздел «Работа. Мощность. Энергия»)

2. Урок «Решение задач на тему \"Закон сохранения энергии\"» (физика, 7 класс, раздел «Работа. Мощность. Энергия»)

3. Урок «Импульс. Закон сохранения энергии» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

4. Урок «Решение задач на тему \"Законы взаимодействия и движения тел\"» (физика, 9 класс, раздел «Законы взаимодействия и движения тел»)

5. Урок «Работа силы тяжести. Потенциальная энергия тела, поднятого над землёй» (физика, 10 класс, раздел «Законы сохранения в механике»)

6. Урок «Потенциальные консервативные и непотенциальные силы. Потенциальная энергия» (физика, 10 класс, раздел «Законы сохранения в механике»)

7. Урок «Работа силы упругости. Потенциальная энергия упруго деформированного тела» (физика, 10 класс, раздел «Законы сохранения в механике»)

8. Урок «Потенциальная энергия в однородном поле тяжести. Потенциальная энергия упругой деформации» (физика, 10 класс, раздел «Законы сохранения в механике»)

9. Урок «Закон сохранения энергии. Работа силы трения» (физика, 10 класс, раздел «Законы сохранения в механике»)

10. Урок «Механическая энергия. Закон изменения, сохранения механической энергии» (физика, 10 класс, раздел «Законы сохранения в механике»)

11. Урок «Потенциальная энергия в поле тяготения. Вторая космическая скорость» (физика, 10 класс, раздел «Законы сохранения в механике»)