13. Двугранный угол

Угол на плоскости

Повторим, что такое угол на плоскости и как он измеряется.

Рассмотрим плоскость (рис. 1). Из точки исходят два луча – и .

Определение. Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называется углом.

Угол измеряется в градусах и в радианах.

Вспомним, что такое радиан.

Если мы имеем центральный угол, длина дуги которого равна радиусу, то такой центральный угол называется углом в 1 радиан. , (рис. 2).

Связь радианов и градусов.

.

Получаем, . (). Тогда, , .

Двугранный угол

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой и двумя полуплоскостями с общей границей , не принадлежащими одной плоскости.

Рассмотрим две полуплоскости и (рис. 3). Их общая граница – . Указанная фигура называется двугранным углом.

Терминология

Полуплоскости и – это грани двугранного угла.

Прямая – это ребро двугранного угла.

Измерение двугранного угла

На общем ребре двугранного угла выберем произвольную точку (рис. 4). В полуплоскости из точки восстановим перпендикуляр к прямой . Из той же точки во второй полуплоскости восставим перпендикуляр к ребру . Получили угол , который называется линейным углом двугранного угла.

 – линейный угол двугранного угла.

Докажем равенство всех линейных углов для данного двугранного угла.

Пусть мы имеем двугранный угол (рис. 5). Выберем точку и точку на прямой . Построим линейный угол соответствующий точке , т. е. проведем два перпендикуляра и в плоскостях и соответственно к ребру . Получаем угол – линейный угол двугранного угла.

Из точки проведем два перпендикуляра и к ребру в плоскостях и соответственно и получим второй линейный угол .

Лучи и сонаправленны, так как они лежат в одной полуплоскости и параллельны между собой как два перпендикуляра к одной и той же прямой .

Аналогично, лучи и сонаправлены, значит, как углы с сонаправленными сторонами, что и требовалось доказать.

Свойство линейного угла

Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру двугранного угла.

Доказать: .

Доказательство:

по построению, по построению (рис. 6).

Получаем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и из плоскости , значит, прямая а перпендикулярна плоскости , что и требовалось доказать.

Виды двугранных углов

Двугранный угол измеряется своим линейным углом. Это означает, что, сколько градусов радиан содержится в линейном угле, столько же градусов радиан содержится в его двугранном угле. В соответствии с этим различают следующие виды двугранных углов.

- Острый (рис. 6)

Двугранный угол острый, если его линейный угол острый, т.е. .

- Прямой (рис. 7)

Двугранный угол прямой, когда его линейный угол равен , .

- Тупой (рис. 8)

Двугранный угол тупой, когда его линейный угол тупой, т.е. .

Примеры построения линейных углов в реальных фигурах

Задача 1

– тетраэдр.

1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром .

Построение:

Речь идет о двугранном угле, который образован ребром и гранями и (рис. 9).

Проведем прямую перпендикулярно плоскости , – основание перпендикуляра. Проведем наклонную перпендикулярно прямой , – основание наклонной. По теореме о трех перпендикулярах заключаем, что проекция наклонной также перпендикулярна прямой .

То есть, из точки восстановлены два перпендикуляра к ребру в двух гранях и . Мы получили линейный угол .

Заметим, что , ребро двугранного угла, перпендикулярно плоскости линейного угла, т. е. плоскости . Задача решена.

Замечание. Двугранный угол можно обозначить следующим образом: , где – ребро, а точки и лежат в разных гранях угла.

2. Построить линейный угол двугранного угла с ребром .

Проведем перпендикуляр к плоскости и наклонную перпендикулярно прямой . По теореме о трех перпендикулярах получаем, что – проекция наклонной на плоскость , также перпендикулярна прямой . – линейный угол двугранного угла с ребром .

Задача 2

В тетраэдре все ребра равны. Точка – середина ребра . Докажите, что угол – линейный угол двугранного угла , т. е. двугранного угла с ребром . Одна его грань – , вторая – (рис. 10).

Решение:

Треугольник – равносторонний, – медиана, а значит и высота. Значит, . Аналогично, треугольник – равносторонний, – медиана, а значит, и высота. Значит, .

Таким образом, из точки ребра двугранного угла восстановлено два перпендикуляра и к этому ребру в гранях двугранного угла.

Значит, – линейный угол двугранного угла, что и требовалось доказать.

Итоги урока

Итак, мы определили двугранный угол, линейный угол двугранного угла.

На следующем уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых и плоскостей, дальше узнаем что такое двугранный угол при основании фигур.

Список литературы по теме \"Двугранный угол\", \"Двугранный угол при основании геометрических фигур\"

1. Геометрия. 10–11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Геометрия. 10–11 класс: учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Домашнее задание по теме \"Двугранный угол\", определение двугранного угла при основании фигур

Геометрия. 10–11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 2, 3 стр. 67.

Что такое линейный угол двугранного угла? Как его построить?

– тетраэдр. Построить линейный угол двугранного угла с ребром:

а) ;

б) .

– куб. Постройте линейный угол двугранного угла с ребром . Определите его градусную меру.