03. Компланарные векторы

Введение, понятие компланарности векторов

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Рассмотрим векторы  и : рис. 1

Мы знаем, что если заданы два неколлинеарных вектора на плоскости, то любой третий вектор на той же плоскости можно однозначно разложить по этим векторам: рис. 2, 3.

Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным

Данный факт легко доказывается. Пусть . Из точки проводим прямую , параллельно вектору . Получаем вектор , коллинеарный вектору . Аналогично из точки проводим прямую , параллельно вектору . Получаем вектор , коллинеарный вектору . Это означает, что существуют такие два числа и , причем единственные, что:

;

Напомним, что коллинеарными называются векторы, принадлежащие одной и той же или параллельным прямым.

Теорема о компланарных векторах, сложение векторов в пространстве

Если вектор  можно представить в виде , где и – конкретные числа, то вектора ,  и  компланарны.

Рассмотрим три вектора ,  и  в пространстве. На плоскости мы строили параллелограмм на двух заданных векторах. В пространстве же мы можем построить параллелепипед на трех заданных векторах. Найдем сумму этих векторов (рис. 4).

Из точки откладываем заданные векторы. Достраиваем параллелепипед. Суммой трех заданных векторов будет диагональ параллелепипеда: .

Данный факт легко доказать с помощью правила многоугольника. Согласно свойствам параллелепипеда, имеем пары равных векторов: , . Так, получаем: , ч.т.д.

Если заданы три некомпланарных вектора, то мы можем разложить любой заданный четвертый вектор через три заданных. Например, заданы некомпланарные векторы ,  и . Тогда любой вектор  можно представить в виде суммы: , где , и – конкретные числа, причем для заданного вектора единственные. Эти числа называются коэффициентами разложения.

Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам

Любой вектор в пространстве можно разложить по трем заданным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство.

Дано: некомпланарные векторы ,  и , произвольный вектор .

Построим все заданные векторы из одной точки – точки (рис. 5). Рассмотрим плоскость, образованную векторами  и . Из точки проведем прямую , параллельно направлению .  – точка пересечения плоскости и прямой. Векторы  и  по построению коллинеарны, значит имеем: . Теперь, согласно правилу треугольника, имеем: . Вектор  мы нашли. Вектор  , согласно построению, лежит в плоскости векторов  и , значит, согласно теореме, рассмотренной выше, о разложении вектора через два неколлинеарных имеем: .

Так, получено разложение произвольного вектора в пространстве через три  некомпланарных вектора: .

Докажем, что такое разложение единственно. Используем метод от противного. Предположим, что есть еще тройка чисел (, , ), с помощью которой можно заданный вектор разложить по трем некомпланарным. . Имеем систему:

Вычтем из первого уравнения второе:

Получить нулевой вектор из трех некомпланарных ненулевых векторов путем их сложения можно только в случае, когда: , , .

Так, доказано, что возможно единственное разложение вектора по трем некомпланарным.

Итак, мы рассмотрели понятие компланарности векторов, доказали теоремы о разложении векторов на плоскости и в пространстве, рассмотрели сумму векторов в пространстве.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Домашнее задание

1. В тетраэдре – точка пересечения медиан треугольника . Разложите вектор  по векторам , , .

2. В параллелепипеде  точка принадлежит ребру , причем . Точка принадлежит ребру , . Разложите вектор  по векторам , , .

3. Используя векторы, докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «studopedia.ru»‎ (Источник).