09. Куб

Свойства скрещивающихся прямых

Некоторые свойства скрещивающихся прямых:

Через прямую  можно провести плоскость , параллельную прямой , и притом только одну. Для этого нужно взять на прямой  любую точку и провести через нее прямую, параллельную . Затем через полученную прямую и прямую  построить плоскость .

Доказательство: аналогично, через прямую  нужно провести плоскость , параллельную . Взять на прямой  любую точку и провести через нее прямую, параллельную . Тогда получим в одной плоскости две пересекающиеся прямые, параллельные двум пересекающимся прямым в другой плоскости, значит, такая плоскость единственна (рис. 1).

Признак скрещивающихся прямых

Признак скрещивающихся прямых: если прямая пересекает плоскость, в которой лежит вторая прямая, в точке, которая не лежит на первой прямой, то прямые скрещивающиеся (рис. 2).

Стандартные задачи на скрещивающиеся прямые

Две стандартные задачи на скрещивающиеся прямые:

Найти угол между скрещивающимися прямыми  и .

Угол между скрещивающимися прямыми: необходимо взять точку и провести через нее прямые, параллельные скрещивающимся. Угол между этими параллельными прямыми и будет углом между скрещивающимися прямыми (рис. 3).

Решение задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми в кубе

Найти расстояние между скрещивающимися прямыми  и .

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина их общего перпендикуляра.

Для нахождения такого перпендикуляра часто используется метод перпендикулярной плоскости: строится плоскость, перпендикулярная одной из прямых. На нее проектируются обе скрещивающиеся прямые, причем проекцией перпендикулярной прямой будет точка на плоскости, а проекцией второй прямой – прямая на плоскости. Тогда искомое расстояние между скрещивающимися прямыми будет равно расстоянию от точки на плоскости до прямой на плоскости (рис. 4).

Существует другой метод нахождения. Берется плоскость, перпендикулярная не прямой, а плоскости, содержащей одну из скрещивающихся прямых, и параллельная второй. В таком случае вся плоскость, содержащая первую прямую, проектируется в прямую на перпендикулярной плоскости, и плоскость, содержащая вторую скрещивающуюся прямую и параллельная первой, также проектируется в прямую на плоскости. Так как плоскости, содержащие скрещивающиеся прямые, параллельны, то их проекции параллельны. Значит, расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными прямыми на плоскости (рис. 5).

Задачи:

Задача №1:

Дан куб . Известно расстояние между скрещивающимися прямыми  и , равное . Найти сторону куба (рис. 6).

Решение

Для использования метода перпендикулярной плоскости найдем эту плоскость: перпендикулярной плоскостью является плоскость основания (), так как . Проектируем обе прямые на эту плоскость. Проекцией  является точка . Проекцией  является диагональ (так как  проектируется в , а – сама в себя). Данное по условию расстояние между скрещивающимися прямыми  и  является расстоянием между точкой и прямой , то есть половиной диагонали квадрата в основании (). Рассмотрим прямоугольный треугольник  (): в нем катеты равны (), значит, по теореме Пифагора, можно найти гипотенузу:

Ответ: ребро куба равно .

Задача №2:

Дан куб , ребро которого равно 1 см. Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба (рис. 7).

Решение

Проведем диагонали и спроектируем на диагонали точки  и (проведем  и ). Получим две плоскости () и (). Докажем, что полученные плоскости параллельны: ,  и прямые  и ,  и  пересекаются, значит, плоскости параллельны. Плоскости () и () перпендикулярны плоскости (), так как прямые  и перпендикулярны этой плоскости и лежат в соответствующих плоскостях. Значит, искомое расстояние есть длина перпендикуляра между прямыми . Рассмотрим прямоугольный треугольник  ():  см, так как – диагональ квадрата в основании и равна произведению корня из двух на его сторону, а – половина ,  см, как высота куба. Найдем гипотенузу :

.

Площадь треугольника  равна половине произведения катетов и равна половине произведения высоты на гипотенузу. Отсюда найдем высоту:

.

Ответ: расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба равно  см.

Выводы

Были рассмотрены две задачи на скрещивающиеся прямые: первая решена методом перпендикулярной плоскости к одной из прямых, вторая – методом перпендикулярной плоскости к плоскости, содержащей скрещивающуюся прямую и параллельной второй из скрещивающихся прямых.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Домашнее задание

1. Что такое куб?

2. Какие прямые в кубе скрещивающиеся?

3. Могут ли скрещивающиеся прямые лежать в параллельных плоскостях, например, в противоположных гранях куба?

4. Возможно ли найти расстояние между скрещивающимися прямыми без построения плоскостей?

5. Какой угол между скрещивающимися ребрами куба, лежащими в противоположных гранях куба?