06. Многогранники и их свойства. Профильный уровень

Наклонная призма

Мы уже знаем, что такое многогранник. Кроме того, мы выделили два основных вида многогранников – призмы и пирамиды, и разобрали некоторые их свойства. На этом уроке мы продолжим изучать свойства различных многогранников, которые помогут нам решать различные задачи.

Призма имеет простые формулы для вычисления площади поверхности и объема:

В этих формулах используются периметр или площадь основания и высота призмы.

Они универсальны, т. е. подходят как для прямых призм, так и для наклонных (см. рис. 1).

Более того, они будут ровно такие же для цилиндров – как прямых, так и наклонных (см. рис. 2) и для произвольных цилиндрических тел (см. рис. 3) или поверхностей, т. е. таких, где основаниями являются произвольные равные друг другу фигуры.

Наклонную призму легко превратить в прямую следующим образом. Рассечем призму поперечным перпендикулярным сечением (см. рис. 4).

Поставим нижнюю часть на верхнюю. Если формально, то сделаем параллельный перенос нижней части на вектор, образованный боковым ребром, направленным вверх (см. рис. 5).

Получим прямую призму (см. рис. 6).

Очевидно, что у этой призмы боковые ребра имеют ту же длину, что у исходной, а основанием является поперечное сечение исходной призмы:

При этом их объемы и площади боковой поверхности равны (см. рис. 7):

Следовательно, мы получили еще две формулы для наклонной призмы. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра поперечного сечения на длину бокового ребра или образующей:

Объем призмы равен площади поперечного сечения на длину бокового ребра:

Понятно, что для прямой призмы эти и предыдущие формулы совпадают.

В связи с этим рассмотрим такую практическую задачу: из деревянного бруса квадратного сечения сделана наклонная колонна. Нужно вычислить ее объем и площадь боковой поверхности. Мы можем сделать это, пользуясь первыми формулами:

В основании лежит некий параллелограмм, измеряем рулеткой длины его сторон, считаем периметр.

Площадь основания. Чтобы вычислить площадь параллелограмма, нужно измерить одну сторону и высоту этого параллелограмма.

Высота призмы. Чтобы ее измерить, нужно постараться, например, поставить колонну и отвесом измерить ее высоту. Здесь, скорее всего, понадобится чья-то помощь.

Задача может осложниться, если колонна уже установлена и нам не видны ни верхнее, ни нижнее основания (см. рис. 8).

В реальности, конечно, никто так считать не будет. Мы просто измерим длину колонны, т. е. длину любого бокового ребра и ширину боковой грани бруса (см. рис. 9).

Применяя последние формулы, мы получим объем и площадь боковой поверхности:

Пирамиды с равнонаклоненными ребрами и гранями

У правильной пирамиды все боковые ребра равны. Верно ли обратное – следует ли из равенства всех боковых ребер правильность пирамиды? Конечно же, нет.

Рассмотрим пирамиду, в основании которой лежит прямоугольник (не квадрат), а вершина проецируется в центр прямоугольника (см. рис. 10).

Очевидно, что все боковые ребра равны, так как они составляют с высотой пирамиды и половинами диагоналей основания равные прямоугольные треугольники. При этом пирамида не является правильной, так как в основании не лежит правильный многоугольник.

Выясним, какими свойствами обладают пирамиды с равными боковыми ребрами. Опустим высоту и соединим проекцию  со всеми вершинами основания (см. рис. 11).

Прямоугольные треугольники , , , , ,  равны друг другу по катету и гипотенузе. Тогда . Но это значит, что  – центр описанной окружности для основания, а отрезки , , , , ,  – радиусы этой окружности (см. рис. 12). Кроме того, .

Т. к.  – это проекция , то угол  между  и  – это угол наклона  к плоскости основания (см. рис. 13). Тоже самое можно сказать про углы наклона остальных ребер.

Таким образом, если все боковые ребра пирамиды равны, то:

1. они имеют равный наклон с плоскостью основания;

2. вершина проецируется в центр описанной окружности основания;

3. равны друг другу и углы между боковыми ребрами и высотой пирамиды.

Верно и обратное утверждение: если все боковые ребра имеют равный наклон к плоскости основания, то они равны друг другу, а вершина проецируется в центр описанной окружности. Такую пирамиду называют или пирамидой с равными боковыми ребрами, или пирамидой с равнонаклоненными ребрами.

Рассмотрим теперь прямую пирамиду, в основании которой лежит ромб, а вершина проецируется в центр ромба (см. рис. 14).

Понятно, что боковые ребра у нее уже не равны. Но все  боковые грани расположены симметрично относительно высоты пирамиды. Тогда они имеют равные наклоны (см. рис. 15). Такую пирамиду называют пирамидой с равнонаклоненными гранями.

Понятно, что пирамиды с равнонаклоненными ребрами и равнонаклоненными гранями – это не одно и то же. Простыми примерами как раз являются прямые пирамиды с длинным прямоугольником и длинным ромбом в основании.

Рассмотрим свойства пирамиды с равнонаклоненными гранями (см. рис. 16). Все двугранные углы, образованные боковыми гранями и основанием, у такой пирамиды равны. Мы изображаем для простоты -угольную пирамиду, но рассуждения верны для пирамиды с любым количеством граней.

Построим проекцию  вершины , проведем перпендикуляры из  ко всем ребрам основания. Соединим основания этих перпендикуляров с вершиной (см. рис. 17).

По теореме о трех перпендикулярах, , , ,  будут высотами боковых граней, а полученные углы будут плоскими углами соответственных двугранных углов. Но значит, они равны. Следовательно, будут равны все треугольники , , , . Значит, . Более того, отрезки , ,  и т. д. являются радиусами вписанной окружности основания. В самом деле, они равны друг другу и перпендикулярны сторонам основания.

Таким образом, если все боковые грани пирамиды равнонаклонены, то:

1. высоты боковых граней равны друг другу и равнонаклонены;

2. высоты боковых граней имеют равные углы с высотой пирамиды;

3. в основание пирамиды можно вписать окружность, и вершина проектируется в центр этой окружности.

Для пирамиды с равнонаклоненными гранями можно получить новые формулы для вычисления площади боковой поверхности. Пусть у -угольной пирамиды все боковые грани имеют одинаковый наклон. Опустим высоты и соединим проекцию вершины пирамиды со всеми вершинами основания. Основание разбивается на  треугольников, каждый из которых является проекцией боковой грани на основание (см. рис. 18).

Тогда площадь такого треугольника равна площади боковой грани, умноженной на косинус угла наклона. Например:

Но так как все углы наклона одинаковы, то мы можем просуммировать такие выражения по всем боковым граням:

Тогда слева мы получим площадь основания, а справа – площадь боковой поверхности: или

Вторую формулы мы получаем из того факта, что высоты всех боковых граней равны. Найдя площадь каждой боковой грани и сложив их, получим: , где  – это периметр основания, а  – высота боковой грани.

Т. к. у правильной пирамиды боковые грани равнонаклонены, то эти формулы, конечно, для нее тоже подходят.

Развертка. Кратчайшие расстояния на поверхности многогранника. Теорема Эйлера

Распространенным подходом к решению стереометрической задачи является сведение ее к более простой, плоской задаче. Одним из таких способов, который мы уже рассматривали, является изучение сечений.

Другой способ, который подходит для многогранников и некоторых других тел, – разрезать поверхность и развернуть ее в виде плоской фигуры, т. е. получить развертку.

Для одного и того же тела развертки можно получить разные. Например, стандартная развертка куба получается при разрезах по ребрам и состоит из 6 квадратов (см. рис. 19).

Но в зависимости от задачи развертка может быть и другая, а разрезы не обязательно будут по ребрам многогранника. Развертка куба может выглядеть и таким образом (см. рис. 20).

Развертки правильного тетраэдра тоже можно получать разные (см. рис. 21).

В любом случае развертка многогранника – это всегда плоский многоугольник, из которого можно сложить многогранник без разрезаний и перекрываний. При этом линии сгиба все изображены на развертке.

Первый тип развертки отличается от второго тем, что в первом случае количество многоугольников соответствует количеству граней и каждый многоугольник равен какой-нибудь грани (см. рис. 22). С этой точки зрения такие развертки, конечно, сильно удобнее вторых. Если вы собираетесь склеить многогранник из бумаги, то, скорее всего, вы будете использовать развертку первого типа.

Применим развертку для решения следующей задачи.

Задача 1. Доказать, что если суммы плоских углов при трех вершинах треугольной пирамиды равны , то все грани этой пирамиды – равные треугольники (т. е. пирамида является равногранной) (см. рис. 23).

Решение

Пусть у пирамиды суммы плоских углов при вершинах ,  и  равны по :

Сделаем развертку, разрезав ее поверхность по ребрам , , . Поскольку суммы плоских углов при вершинах ,  и  равны , то каждый трехгранный угол ,  и  развернется в развернутые плоские углы, а разверткой будет треугольник  (см. рис. 24).

,  и  – середины ребер. Следовательно, на самом деле все грани тетраэдра равны между собой по третьему признаку равенства треугольников.

Доказано.

Метод развертки применяют также при решении задач на поиск кратчайшего пути между точками на поверхности многогранника.

Задача 2.    Дан прямоугольный параллелепипед квадратного сечения с коротким ребром  и длинным . Точка  расположена на передней грани на расстоянии  от середины  и на равных расстояниях от  и . Точка  принадлежит задней грани и расположена симметрично относительно центра параллелепипеда. Найти длину кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда между точками  и  (см. рис. 25).

Решение

Идея решения такой задачи в рассмотрении возможных путей и вычисления их с помощью соответствующих разверток. Рассмотрим варианты.

1. Путь от точки  идет вертикально вверх, потом вдоль верхней грани и спускается по задней грани к точке  (см. рис. 26). Его длину вычислить несложно:

2. Можно пройти по боковым граням, т. е. пересечь ребра  и . Сделаем развертку, вернее нужную ее часть (см. рис. 27):

Этот путь оказался длиннее предыдущего.

3. Путь последовательно пересекает ребра , , . Сделаем развертку (см. рис. 28). По теореме Пифагора:

Уже короче.

4. Путь последовательно пересекает ребра , , , . Сделаем развертку (см. рис. 29). Посчитаем длину пути:

Как ни странно, но это путь оказался самым коротким!

Ответ: .

Другой, несколько более радикальный подход, замену объемной задачи на плоскую, использовал Леонард Эйлер при доказательстве своей замечательной теоремы для многогранников. Теорема заключается в том, что для многогранников справедлива формула: , где  – число вершин выпуклого многогранника,  – число его ребер,  – число граней.

Выражение в левой части формулы называется эйлеровой характеристикой.

Таким образом, теорема может звучать так: эйлерова характеристика многогранника равна 2.

Легко убедиться в верности формулы для любого простого многогранника. Например, для тетраэдра:

Для параллелепипеда:

Для доказательства этой теоремы Эйлер тоже разворачивал многогранник на плоскость, но, в отличие от развертки, его не заботило сохранение равенства ребер, граней, углов. Важно было только их количество. Поэтому любые растяжения и сжатия здесь вполне допускались. Этот метод дал начало новой науке – топологии.

Если коротко сравнить классическую геометрию, которой мы занимаемся в школе, и топологию, то можно сказать: геометрия изучает те свойства фигур, которые не меняются при движении. Например, передвинем или повернем треугольник. У него не изменились длины сторон, углы, площадь и тому подобное. Все эти величины изучает геометрия. Изменилось расположение фигуры на плоскости. Это расположение не является предметом изучения. Т. е. для геометрии исходный треугольник и передвинутый рассматривается как одна и та же фигура.

Топология изучает те свойства фигуры, которые не меняются при растяжениях, сжатиях, скручиваниях, т. е. так называемых резиновых преобразованиях. Треугольник вполне превращается в квадрат или круг. Увеличивает или уменьшает неограниченно свой размер. Таким образом, для топологии это все одна и та же фигура, и длина стороны или площадь не являются предметом ее изучения, так как они не сохраняются при резиновых преобразованиях.

А что же тогда остается неизменным? Возьмем квадрат и проведем его диагональ из точки . Как бы мы ни преобразовывали резиновым образом нашу фигуру, из точки  будут продолжать выходить три линии, три ребра. И этот показатель уже является предметом изучения топологии.

Возвращаясь к теореме Эйлера, то она справедлива не для всех многогранников, а только для тех, которые топологически эквивалентны сфере, т. е. могут быть резиновыми преобразованиями сведены к сфере. Пирамида, призма, параллелепипед и вообще любой выпуклый многогранник легко превращается в сферу с помощью резиновых преобразований. Для всех них верна теорема Эйлера.

Возьмем теперь два тетраэдра. У каждого из них Эйлерова характеристика равна 2:

Склеим их теперь по двум ребрам (см. рис. 30). В полученном многограннике количество граней не изменилось, ребер стало на 1 меньше, а вот вершин – на 2 меньше.

Эйлерова характеристика этого многогранника  увеличивается на 1 и уже равна 3:

Теорема Эйлера не выполняется. При этом легко понять, что как бы мы ни растягивали, сжимали или скручивали его, сферу нам никак не получить, в лучшем случае – две склеенные сферы.

Доказательство теоремы Эйлера мы подробно разбирали в 9 классе, и его можно посмотреть по ссылке.

Правильные многогранники

Мы говорили о том, что многоугольники и многогранники – это похожие по своим свойствам двумерные и трехмерные объекты. Но между ними есть и существенные принципиальные различия. Поговорим о них подробнее.

Одно из них – это жесткость. Как известно, из многоугольников жесткой фигурой является только треугольник. Т. е., даже если вершины треугольника – шарниры, ему все равно невозможно придать другую форму. Этот факт отмечен в третьем признаке равенства треугольников. В самом деле, если стороны треугольника можно было бы сдвинуть, то мы получили бы два неравных треугольника с наборами равных сторон, что противоречит как раз третьему признаку.

Что касается остальных многоугольников, начиная с четырехугольника, то каждый из них допускает шарнирную деформацию с сохранением длин сторон.

Если вы попробуете склеить многогранник, то заметите, что до последнего склеивания фигура достаточно пластична. Но как только все нужные грани склеены друг другом, многогранник превращается в жесткую фигуру и не допускает деформации. Т. е. для многогранников должно выполняться условие, подобное третьему признаку равенства треугольника.

И в самом деле, французский математик Коши доказал такую теорему: два выпуклых многогранника с соответственно равными гранями, составленными в одном и том же порядке, равны. Это означает, что выпуклый многогранник – жесткая фигура и не допускает деформации без изменения граней.

Второе важное отличие, на котором мы остановимся более подробно, – это количество правильных многоугольников и многогранников. Мы знаем, что существуют правильные многоугольники с любым количеством сторон, начиная с трех. Существуют правильный 19-угольник, 1000-угольник и так далее. Мы легко умеем находить углы таких многоугольников, радиусы вписанной и описанной окружности, площадь кольца, образованного этими окружностями, и т. п. С правильными многогранниками дело обстоит принципиально иначе. Но для начала разберемся с определением.

Достаточно ли будет сказать, что это многогранник, гранями которого являются правильные и равные друг другу многоугольники? Возьмем два правильных равных тетраэдра и склеим их гранями (см. рис. 31).

Полученный шестигранник состоит из равных правильных треугольников. Но он не очень симметричен. Есть две вершины, из которых исходит по три ребра, и три вершины с четырьмя ребрами. Такой многогранник правильным не называют. Понятно, что для правильности нужно потребовать, чтобы количество ребер в каждой вершине было одинаковым. Итак, мы получили определение.

Многогранник называется правильным, если:

1. он выпуклый;

2. все его грани являются равными правильными многоугольниками;

3. в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер.

Нам не надо требовать равенства двугранных углов между гранями или многогранных у каждой вершины, как следовало бы по аналогии с многоугольниками, т. к. в силу теоремы Коши правильный многогранник нельзя изменить, изменив эти углы.

А теперь второе важное отличие. Правильных многогранников существует всего пять видов, а не бесконечное число, как правильных многоугольников. Перечислим их.

1. Тетраэдр, т. е. четырехгранник (см. рис. 32). Все 4 его грани – правильные треугольники.

1. Гексаэдр, т. е. шестигранник (см. рис. 33). Нам он более известен как куб.

3. Октаэдр, т. е. восьмигранник (см. рис. 34). Возьмем две правильные четырехугольные пирамиды, у которых боковые грани – правильные треугольники, и склеим их квадратными основаниями, получим октаэдр (см. рис. 35).

4. Додекаэдр, т .е. 12-гранник (см. рис. 36). Все его грани – правильные пятиугольники.

5. Икосаэдр, т. е. 20-гранник (см. рис. 37). Все его грани – правильные треугольники.

Три правильных многогранника состоят из треугольников (см. рис. 38). Кроме количества граней, бросающееся в глаза различие – это количество ребер у каждой вершины. У тетраэдра – 3, у октаэдра – 4, у икосаэдра – 5.

Все 5 правильных многогранников были известны уже древним грекам. В силу такого небольшого их числа велико было искушение придать им божественное значение и отождествить с основными стихиями – огнем, воздухом, водой и землей.

Греки знали не только все 5 правильных многогранников, но и объяснили, почему их всего столько и других быть не может. Проведем и мы это нехитрое рассуждение.

В одной вершине должно сходиться не меньше 3 граней. Соответственно, углы таких граней должны быть меньше . Вспомним, что сумма плоских углов любого многогранного угла всегда меньше . Например, 3 шестиугольника, у которых углы по , сходясь в одной точке и соединяясь сторонами друг с другом, будут лежать в одной плоскости и не образуют многогранного угла. Большее их количество тем более невозможно. У семиугольников и далее углы еще больше. Таким образом, гранями могут быть только треугольники, квадраты и пятиугольники.

Если грани четырехугольные, то их не может сойтись в одной вершине больше трех, иначе сумма углов будет больше или равна . 4 квадрата, сходясь, будут лежать в одной плоскости. То же самое касается и пятиугольников. Их сходиться может только три.

Если же грани треугольные, то их не может сойтись больше пяти: 6 правильных треугольников тоже будут лежать в одной плоскости.

Таким образом, возможные варианты – это треугольники, сходящиеся по 3, 4 и 5, а также квадраты и пятиугольники, сходящиеся по 3. Все эти пять вариантов и реализованы в пяти известных правильных многогранниках.

Следующее ответвление про двойственность правильных многогранников обязательно к просмотру для учеников профильного уровня, для всех остальных – по желанию.

Двойственность правильных многогранников

Швейцарский математик Людвиг Шлефли предложил удобную форму записи для всех видов правильных многогранников. Символ Шлефли – это пара чисел, где первая – это число ребер в каждой грани, т. е. 3, 4 или 5, а вторая – число ребер, сходящихся в каждой вершине. Так, для куба символ Шлефли будет иметь вид  – четырехугольные грани и по три ребра у каждой вершины.

Соберем в таблицу основные характеристики правильных многогранников (см. рис. 39). Легко заметить комбинаторную симметрию. Гексаэдр, т. е. куб и октаэдр, меняются количеством вершин и граней, так же ведет себя и пара «додекаэдр – икосаэдр». Переворачивается у них и символ Шлефли. Количество ребер сохраняется. Это свойство называется двойственностью.

Давайте посмотрим, что это значит с точки зрения построения этих тел. Рассмотрим двойственную пару «куб – октаэдр». Количество граней куба равно количеству вершин октаэдра. Чтобы этого добиться отметим на середине каждой грани куба точку (см. рис. 40). Это и будут вершины октаэдра. Понятно, что их количество равно количеству граней куба.

Теперь три точки, лежащие на трех гранях, сходящихся в одной вершине куба, задают грань новой фигуры (см. рис. 41). Это всегда будет правильный треугольник, и их число будет равно количеству вершин куба. Вот мы и построили двойственный кубу октаэдр (см. рис. 42).

Можно начать с октаэдра и построить по такому же принципу двойственный ему куб (см. рис. 43).

Аналогичная ситуация с парой «додекаэдр – икосаэдр». Отметим точки в центрах граней додекаэдра, соединим в нужной последовательности их ребрами, получим икосаэдр.

И наоборот (см. рис. 44).

Очевидно, что тетраэдр двойственен сам себе (см. рис. 45).

Важным свойством правильных многогранников является их высокая степень симметричности. Определенное количество отражений вокруг разных плоскостей, а также целый ряд поворотов вокруг разных осей переводят каждый из многогранников сам в себя. У каждого из них есть центр, через который проходят все эти плоскости симметрии и оси; вершины равноудалены от этого центра, это же верно для граней и ребер (см. рис. 46). Поэтому в каждый правильный многогранник можно вписать сферу, она касается каждой грани в центре изнутри (см. рис. 47).

Около каждого из них можно описать сферу, которая проходит через все вершины многогранника (см. рис. 48). В этом плане они вполне аналогичны правильным многоугольникам, в каждый из которых можно вписать окружность и вокруг каждого из которых тоже можно описать окружность.

Более того, для правильных многогранников выделяют еще третий вид сферы, срединную, которая касается всех ребер в их серединах (см. рис. 49).

Как и для правильных многоугольников, для правильных многогранников выводятся формулы радиусов этих окружностей, величин двухгранных углов и прочие характеристики. Но мы их выводить в нашем курсе не будем.

Список литературы

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.

3. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

Домашнее задание

1. В наклонной треугольной призме  основанием служит прямоугольный треугольник , . Плоскость грани  перпендикулярна плоскости основания. Доказать, что  – прямоугольник.

2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна , а высота – . Найти углы наклона боковых ребер и боковых граней к плоскости основания.

3. Вычислить угол между двумя ребрами октаэдра, которые имеют общую вершину, но не лежат в одной грани.