03. Многогранники. Призма. Задачи на призму

Тема и цели урока

На этом занятии мы повторим основные сведения о многогранниках. Особенное внимание уделим определению призмы. Вспомним теорему о площади боковой поверхности прямой призмы.

Повторение, призма

На рисунке 1 изображена призма , ее основания и . Пятиугольники и  равны и лежат в параллельных плоскостях.

Призма – это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани – параллелограммы.

Основания призмы – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, которые лежат в параллельных плоскостях.

Боковыми гранями являются все грани призмы, кроме оснований. Каждая боковая грань является параллелограммом.

Общие стороны боковых граней называются боковыми ребрами.

Вернемся к рисунку 1. В пятиугольнике : и  – основания призмы.

Боковыми гранями являются грани , , , , . А боковыми ребрами – , , , , .

Прямая призма

Определение. Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такая призма называется прямой.

Рассмотрим пятиугольную призму (рис. 2).

Пусть боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Значит, данная призма – прямая. Так как ребро перпендикулярно плоскости , то это боковое ребро перпендикулярно любой прямой из плоскости основания , в том числе и прямой . Значит, боковая грань является прямоугольником.

Параллелепипед

Рассмотрим параллелепипед (рис. 3) – частный случай призмы. В основаниях призмы лежат параллелограммы и .

Если боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такой параллелепипед будет называться прямым параллелепипедом.

Рассмотрим параллелепипед ­ (рис. 4). Если ребро  перпендикулярно плоскости , то параллелепипед ­ прямой.

Если в основании прямого параллелепипеда лежит прямоугольник, то такой параллелепипед называется прямоугольным. Обозначение:    или кратко .

Правильная призма

Определение. Правильной -угольной призмой называется такая прямая призма, у которой в основаниях лежит правильный -угольник.

Площадь боковой поверхности призмы

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Рассмотрим эту теорему на примере треугольной прямой призмы (рис. 5). Призма ­ – прямая, значит, все боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Дано:  – прямая призма, т. е. .

.

Доказать: .

Доказательство.

Треугольная призма  – прямая, значит, боковые грани , , – прямоугольники. А все боковые ребра призмы равны высоте призмы.

Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников , , :

Получаем, , что и требовалось доказать.

Задача 1

В правильной -угольной призме сторона основания равна и высота равна . Вычислить площадь боковой и полной поверхности призмы, если , , . См. рис. 6.

Дано:  – призма, , , .

Найти: , .

Решение:

По условию призма прямая. Значит, ребро перпендикулярно плоскости основания и равно высоте призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания призмы на высоту. Найдем площадь боковой поверхности.

.

В основании призмы лежит правильный треугольник . Найдем его площадь.

Площадь полной поверхности призмы – это площадь всех ее граней, то есть площадь боковой поверхности плюс площади двух оснований. Значит:

.

Ответ: .

Задача 2

Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см. Перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найти площадь боковой поверхности.

Дано: призма (рис. 7), , перпендикулярное сечение – ромб со стороной 5 см.

Найти: .

Решение:

Мы доказали на прошлом уроке, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

По условию, перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Все стороны ромба равны. Значит, периметр перпендикулярного сечения равен  см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

Ответ: .

Задача 3

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых рёбрах призмы. См. рис. 8.

Дано:  – призма, , , , , , .

Найти: двугранные углы при боковых рёбрах призмы.

Решение:

Вспомним, что такое двугранный угол. Пусть у нас есть две полуплоскости и , которые пересекаются по прямой (рис. 9). Тогда они образовывают двугранный угол с ребром . Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

Как строится линейный угол? Берется произвольная точка на ребре, и проводятся два перпендикуляра: один перпендикуляр в плоскости – перпендикуляр , второй перпендикуляр в плоскости – перпендикуляр . Тогда угол между прямыми и и будет линейным углом двугранного угла.

Найдем линейный угол при ребре . Так как ребро  перпендикулярно всей плоскости , то ребро  перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, в том числе прямым и . Тогда угол между прямыми и , а именно угол , является линейным углом двугранного угла при ребре .

Аналогичным образом, получаем, что линейные угол при ребре – это угол , при ребре – , при ребре – . Все эти углы являются углами трапеции . Найдем их градусную меру.

Рассмотрим трапецию (рис. 10). Проведем высоты и . По условию, высота трапеции равна 8 см. Значит, .

Найдем . Прямые и перпендикулярны одной и той же прямой . Значит, прямые и параллельны. Так как , то – параллелограмм.  Значит, .

Так как трапеция  равнобедренная, то .

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, так как и равнобедренный, так как . Значит, градусов.

Так как трапеция  равнобедренная, то , .

Ответ: , , , .

Список литературы

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: ил.

Домашнее задание

1. У параллелепипеда три грани имеют площадь , , . Чему равна полная поверхность параллелепипеда?

2. Основание призмы – прямоугольный треугольник, диагонали боковых граней призмы – 8 см, 14 см, 16 см. Найдите высоту призмы.

3. Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна большей диагонали основания. Под каким углом пересекаются диагонали боковой грани этой призмы?

4. Найдите площадь поверхности правильной -угольной призмы, если любое ребро это призмы равно . а) ; б) .