02. Некоторые следствия из аксиом

Напоминание аксиом стереометрии

Аксиома 1 (А1)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2 (А2)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 

Аксиома 3 (А3).

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Пример:

Дано: ABCD – плоский четырехугольник,(Рис. 1.)

Требуется:

Найти прямую пересечения плоскостей МАВ и МВС.

Решение:

Итак, дана плоскость четырехугольника АВСD, т.е. АВСD – плоский четырехугольник. Все вершины лежат в одной плоскости. Точка М не лежит в плоскости этого четырехугольника. Надо найти прямую пересечения плоскостей МАВ и МВС.

И точка М, и точка В принадлежат и плоскости МАВ, и плоскости МВС.

Значит, МВ искомая линия пересечения,. Посмотрим на Рис. 1. МВА – одна плоскость. МВС – вторая плоскость. МВ – линия их пересечения.

Ответ: прямая МВ.

Теорема 1 и ее доказательство

Дано:

Прямая а, .

Доказать:

1) Существует плоскость.

2) Плоскость α единственна

Доказательство первого пункта:

Докажем, что существует плоскость. На прямой a выберем любые две точки Р и Q:. Тогда имеем 3 точки – Р, Q, M, которые не лежат на одной прямой.

По аксиоме А1, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, т.е. плоскость α, которая содержит и прямую α, и точку М, существует.

Доказательство второго пункта:

Следует доказать единственность такой плоскости.

Предположим, что существует иная плоскость α', которая проходит и через точку М, и через прямую a. Например, это будет плоскость, проходящая через точки Q', P',  прямой a, и точку M. Но тогда эта плоскость α' проходит и через прямую a, и через точку М, а значит, и через точки Р, Q, M. А через три точки Р, Q, M, не лежащие на одной прямой, в силу 1 аксиомы, проходит только одна плоскость. Значит, эта плоскость α' совпадает с плоскостью α. Значит, единственность доказана. Вся теорема доказана.

Теорема 2 и ее доказательство

Дано:

Доказать:

1) Существует плоскость.

2) Такая плоскость α единственна.

Доказательство:

На прямой b возьмем точку N, которая не совпадает с точкой М, то есть.

Тогда имеем точку N, которая не принадлежит прямой α. По предыдущей теореме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость. Назовем ее плоскостью α. Значит, такая плоскость, которая проходит через прямую a и точку N, существует. Но эта плоскость также проходит и через всю прямую b, так как две точки М и N прямой b лежат в этой плоскости. То есть и прямая a и прямая b принадлежат плоскости α. Значит, существует такая плоскость, которая проходит через две пересекающиеся прямые, что и требовалось доказать в первом пункте.

Докажем единственность этой плоскости.

Предположим противное. Пусть существует иная плоскость α', такая, которая проходит и через прямую a, и через прямую b. Но тогда она также проходит и через прямую a, и точку N. Но по предыдущей теореме эта плоскость единственна, т.е. плоскость α'  совпадает с плоскостью α.

Значит, мы доказали существование единственной плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

Задача 1

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб

Какой плоскости принадлежат отрезок АВ и точка D₁?

Решение:

Способ 1

Через прямую АВ и точку D₁ можно провести плоскость, и притом только одну, в силу теоремы 1.

Способ 2

AD₁ – прямая, точка В не лежит на этой прямой. Значит, через прямую AD₁ и точку В можно провести плоскость, и притом только одну, то есть плоскость ABD₁.

Способ 3

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АВ и AD₁.

В силу теоремы 2, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Это плоскость ABD₁.

Способ 4

В силу 1 аксиомы, через 3 точки А, В, D₁, не лежащие на одной прямой проходит единственная плоскость ABD₁.

Ответ: отрезок АВ и точка D₁ принадлежат плоскости ABD₁.

Задача 2

Найдите прямую пересечения плоскостей D₁B₁B и B₁A₁D₁.

Решение: 

И точка D₁ и точка B₁ входят и в плоскость D₁B₁B и в плоскость B₁A₁D₁. То есть, обе точки B₁ и D₁ одновременно лежат в двух плоскостях и B₁D₁ является линией их пересечения:

Ответ:

Задача 3

Какие плоскости пересекаются в точке А?

Мы знаем, что если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой. Другие две плоскости тоже могут пересекаться по прямой. А эти две прямые, если пересекаются, то дают точку.

Нужно узнать, какие плоскости содержат точку А

Во-первых, это плоскость АВС, т.е. плоскость нижней грани АВСD (но для названия  плоскости достаточно 3 точек, не лежащих на прямой). Итак, первая плоскость – нижнее основание АВС.

Вторая плоскость ABB₁, или ABB₁A₁. Третья плоскость ADD₁. Все 3 плоскости содержат точку А. Пересечением этих трех названных плоскостей является точка А.

Ответ:

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Рекомендованное домашнее задание

1. Какой плоскости принадлежат отрезок CD и точка A₁ (Рис. 4.)?

2. Найдите прямую пересечения плоскостей A₁AC и ACD (Рис. 4.).

3. Какие плоскости пересекаются в точке B (Рис. 4.)?

4. Даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько можно провести различных плоскостей, проходящих через три из этих точек?

5. Докажите, что если прямые AB и CD не лежат в одной плоскости, то прямые AC и BD также не лежат в одной плоскости.