02. Параллелепипед, его свойства. Простейшие задачи на построение сечений

Введение

Параллелепипед, свойства параллелепипеда

Определение: параллелепипед – многогранник, образованный двумя равными параллелограммами – основаниями, расположенными в параллельных плоскостях ( и ) так, что боковые ребра параллелепипеда равны друг другу (, , , ). В каждой его грани лежат параллелограммы. У параллелепипеда 6 граней, 8 вершин и 12 рёбер (рис. 1).

Виды параллелепипеда:

Прямой параллелепипед – параллелепипед, у которого боковое ребро перпендикулярно плоскости основания (). Все боковые грани – прямоугольники, а в основании – параллелограмм (рис. 2).

Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого боковое ребро перпендикулярно плоскости основания () и в основании лежит прямоугольник (рис. 3).

Куб – прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны (ширина, длина и высоты равны друг другу) (рис. 4).

Опорные факты для построения сечений

Вспомним два опорных факта, с помощью которых производится построение любых сечений.

Если через прямую , параллельную плоскости  ( ), провести плоскость , пересекающую плоскость  по прямой , то прямые и параллельны ( ) (рис. 4).

Если две параллельные плоскости  и  ( ), пересекаются третьей плоскостью , то прямые пересечения и – параллельны ( ) (рис. 5).

Свойства параллелепипеда

Рассмотрим сечение параллелепипеда , проходящие через прямые и  (рис. 6): в сечении лежит параллелограмм ( и  равны и параллельны по определению параллелограмма, а  и параллельны между собой по второму опорному факту). Отрезки  и  – диагонали исходного параллелепипеда, а также, диагонали параллелограмма. По свойствам параллелограмма: его диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Отсюда получаем свойства параллелепипеда: все его диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам; в противоположных гранях параллелепипеда лежат равные параллелограммы.

В параллелепипеде можно получить такие сечения: шестиугольник, пятиугольник, четырехугольник и треугольник.

Стандартные задачи на способы построения сечений

Задача 1:

На ребрах параллелепипеда даны три точки , , . Построить сечение параллелепипеда плоскостью () () (рис. 7).

Решение (первый способ)

Проводим прямые и . Точки , и , лежат и в плоскости сечения и в соответствующих гранях параллелепипеда, поэтому это будут линии пересечения.

Продолжим прямую до пересечения с прямой . Получим точку пересечения .

Точка лежит в плоскости нижней грани параллелепипеда, значит, можно провести прямую параллельно . Эта прямая пересечется с ребрами нижнего основания в точках и . Линия – линия пересечения плоскостью  нижнего основания параллелепипеда. Проведем прямую , которая также является линией пересечения.

Согласно первому опорному пункту, проведем прямую , параллельную . Получим новую точку – точку пересечения секущей плоскости и ребра параллелепипеда. Соединим точки и и получим последнюю линию пересечения .

Решение (второй способ)

В данном параллелепипеде есть возможность построения сечения, не используя опорных фактов (рис. 8).

Достроим прямую до пересечения с двумя ребрами, с одной в точке , а с другой в точке .

Достроим прямую до пересечения с другими двумя ребрами, с одной в точке , а с другой в точке .

Точки  и лежат в плоскости передней грани, и если провести через них прямую, то получим точку .

Точки  и лежат в плоскости задней грани, и если провести через них прямую, то получим точку .

Аналогично можно получить точку , лежащую на прямых  и .

Ответ: получили сечение параллелепипеда – шестиугольник .

Задача 2:

В параллелепипеде  задано три точки: , , . Построить сечение параллелепипеда плоскостью () и определить его вид, если точки и – середины ребер  и  соответственно, а точка – вершина параллелепипеда (рис. 9).

Решение

Соединяем и и получаем линию пересечения грани  и плоскости .

Из точки проведем прямую, параллельно . Это можно легко сделать, если учесть, что и – середины соответствующих ребер, а значит, прямая параллельна диагонали , грани . А прямая  параллельна , и, соответственно, параллельна .

Соединяем точку с и точку с . Получим сечение .

Ответ: получен четырехугольник , являющийся трапецией (т. к. параллельна , а не параллельна ).

Выводы

Были рассмотрено такое понятие, как параллелепипед, изучены его свойства и другие определения (например, ребра параллелепипеда) Также были рассмотрены опорные факты, которые позволяют построить любое сечение, и задачи на способы построения сечений в параллелепипеде.

Список литературы по теме \"Параллелепипед\", \"Ребра параллелепипеда\", \"Построение сечений\"

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Домашнее задание на построение параллелепипеда, ребра параллелепипеда, построение сечений

1. Какие есть виды параллелепипеда?

2. Какое максимальное количество сторон может иметь многоугольник, лежащий в сечении параллелепипеда?

3. С помощью какого свойства параллелепипеда иногда проще и быстрее можно построить сечение?

4. На ребрах параллелепипеда даны три точки: на ребре , на ребре , на ребре . Построить сечение параллелепипеда плоскостью ().

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).