12. Параллелепипед. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда

На этом уроке мы дадим определение параллелепипеда, обсудим его строение, свойства и его элементы (стороны, диагонали).

Параллелепипед

Параллелепипед образован с помощью двух равных параллелограммов АВСD и А₁B₁C₁D₁, которые находятся в параллельных плоскостях. Обозначение: АВСDА₁B₁C₁D₁ или АD₁ (рис. 1.).

Свойства параллелепипеда

1) Все грани параллелепипеда – параллелограммы.

Так как плоскости АВС и А₁B₁C₁ параллельны, а плоскость АА₁В₁ пересекает их соответственно по прямым АВ и А₁В₁, то из свойств параллельных плоскостей следует, что прямые АВ и А₁B₁ параллельны. А так как и прямые АА₁ и ВВ₁ параллельны по условию, то АВВ₁А₁ параллелограмм. Аналогично, можно рассмотреть и другие грани.

2) Ребра АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁ равны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. Значит, отрезки параллельных прямых АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁, которые заключены между параллельными плоскостями АВС и А₁B₁C₁, равны.

3) Имеются три четверки равных и параллельных ребер: 1 – АВ, А₁В₁, D₁C₁, DC, 2 - AD, A₁D₁, B₁C₁, BC, 3 - АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁.

4) Имеются равные углы (с сонаправленными сторонами). Например, углы А₁АВ и D₁DC.

Свойство 1 (Грани параллелепипеда)

Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Например, плоскости параллелограммов АА₁В₁В и DD₁C₁параллельны, так как пересекающиеся прямые АВ и АА₁ плоскости АА₁В₁ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым DC и DD₁ плоскости DD₁C₁. Параллелограммы АА₁В₁В и DD₁C₁C равны (т. е. их можно совместить наложением), так как равны стороны АВ и DС, АА₁ и DD₁, и равны углы А₁АВ и D₁DC.

Свойство 2 (Ребра параллелепипеда)

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Рассмотрим диагонали параллелепипеда А₁C и D₁B (рис. 2). Они также являются диагоналями четырехугольника A₁D₁CB. В этом четырехугольнике стороны A₁D₁ и BC параллельны и равны, а значит, A₁D₁CB – параллелограмм (по признаку параллелограмма). А в параллелограмме диагонали А1C и D₁B пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам.

Рассмотрим теперь четырехугольник АВС₁D₁ (рис. 3). В этом четырехугольнике стороны С₁D₁ и АВ параллельны и равны, а значит, АВС₁D₁ – параллелограмм (по признаку параллелограмма). А в параллелограмме диагонали С₁А и D₁В пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Эти диагонали также пересекаются в точке О, так как мы уже выяснили, что середина диагонали D₁В – это точка О. Следовательно, все диагонали параллелепипеда А₁C, С₁А и D₁В, DВ₁ пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Задача 1

В параллелепипеде АВСDА₁B₁C₁D₁ постройте сечение плоскостью AD₁M, где М – середина ребра ВС. Определите вид полученного сечения.

Решение: (рис. 4)

Соединим точки А и D₁. Точки А и D₁ лежат и в плоскости сечения и в плоскости АА₁D₁. Значит, АD1– линия пересечения этих плоскостей.

Проведем прямую МN параллельно прямой АD₁. Плоскости АА₁D₁ и ВСС₁ параллельны, значит, плоскость АМN рассекает их по параллельным прямым МN и АD₁. Итак, АМND₁– искомое сечение.

Четырехугольник АМND₁ -  трапеция с основаниями АD₁ и МN, так как АD₁ и МN лежат на параллельных прямых.

Заметим, что средняя линия М₁N₁  в треугольнике АDD₁равна отрезку МN. Этот факт понадобится нам дальше для решения задач на нахождения периметра.

Итоги урока по теме Параллелепипед, Стороны параллелепипеда, диагонали, свойства

Итак, мы рассмотрели параллелепипед и его свойства. На следующих уроках мы продолжим рассмотрение тетраэдра и параллелепипеда.

Список рекомендованной литературы по теме \"Параллелепипед\", \"Диагонали параллелепипеда\", \"Стороны параллелепипеда\"

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «kakprosto.ru‎» (Источник).

2. Интернет-портал «urok.1sept.ru‎» (Источник).

3. Интернет-портал «‎myshared.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание по теме \"Параллелепипед и его свойства\", \"Диагонали, стороны параллелепипеда\"

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 10, 11, 12 стр. 50

2. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда АВСDА₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки:

а) А, С, В₁
б) В₁, D₁и середину ребра АА₁.

3. Ребро куба равно а. Постройте сечение куба плоскостью проходящей через середины трех ребер, выходящих из одной вершины, и вычислите его периметр и площадь.

4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью параллелепипеда?