04. Параллельность прямых и плоскостей

Cтереометрия, основные фигуры стереометрии

Определение: стереометрия – это часть геометрии, которая изучает свойства фигур в пространстве.

Основные фигуры стереометрии – это точка, прямая и плоскость. Их взаимоотношение регулируется основными аксиомами стереометрии.

В стереометрии две прямые могут быть пересекающимися, совпадающими, параллельными или скрещивающимися.

Если прямые  и  пересекаются в точке , то они образуют плоскость . Т. е. они лежат в одной плоскости, которая образована этими пересекающимися прямыми (рис. 1).

Если прямые  и  параллельны, то они не имеют общих точек, но лежат в одной плоскости  (рис. 2).

Расположение прямых в пространстве, признак скрещивающихся прямых

Определение: если прямые  и  не лежат в одной плоскости, то они называются скрещивающимися прямыми.

Признак скрещивающихся прямых: если есть плоскость  и в ней лежит прямая  и есть прямая , которая пересекает плоскость  в точке , которая не принадлежит прямой , то прямые  и  не лежат в одной плоскости, а значит, являются скрещивающимися (рис. 3).

Рассмотрим скрещивающиеся прямые на примере треугольной пирамиды (рис. 4):

Противоположные ребра  и  – скрещивающиеся, так как  лежит в плоскости основания, а  пересекает плоскость основания в точке , не принадлежащей . Отсюда следует вывод: противоположенные ребра треугольной пирамиды лежат на скрещивающихся прямых.

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, признак параллельности прямой и плоскости

Рассмотрим взаимоотношение прямой и плоскости:

Если две точки прямой  лежат в плоскости , то прямая  лежит в плоскости  (рис. 5).

Если у плоскости  и прямой  есть только одна общая точка, то прямая  пересекается с плоскостью  (рис. 6).

Если прямая  не имеет общих точек с плоскостью , то прямая  параллельна плоскости .

Признак параллельности прямой и плоскости: если есть прямая , которая параллельна прямой  и лежит в плоскости , то прямая  параллельна плоскости  (рис. 7).

Доказательство: две параллельные прямые  и  образуют плоскость . Если у плоскости  и прямой  была бы общая точка, то она бы лежала в плоскости . Но в этом случае эти прямые имели бы общую точку и были пересекающимися, что противоречит условию задачи (рис. 8).

Расположение плоскостей в пространстве, признак параллельности плоскостей

Взаимоотношение плоскостей в пространстве:

Они могут совпадать. Плоскость  может пересекаться с плоскостью . При этом, у них будет общая прямая пересечения  (рис. 9). Полуплоскости  и , ограниченные прямой , образуют двугранный угол.

Плоскость  параллельна плоскости , если у них нет общих точек.

Признак параллельности плоскостей: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости, то эти плоскости параллельны (рис.10).

Задачи на способы построения сечений

Задача №1:

Дан тетраэдр  и точки , , , соответственно лежащие на ребрах ,  и . Прямая  не параллельна прямой . Построить сечение данного тетраэдра плоскостью () (рис. 11).

Решение

Построим линии  и , которые принадлежат секущей плоскости и плоскостям () и () соответственно. Продолжим прямую  до точки пересечения с прямой . Полученная точка пересечения  является точкой пересечения трех плоскостей (), (), (), поэтому ее можно соединить с точкой , которая лежит в плоскости (). На пересечении прямой  с прямой , получим точку . Соединив точки  с  и  с , получим последние линии пересечения  и .

Ответ: построено сечение, являющееся четырехугольником.

Задача №2:

Дан тетраэдр  и точки , , , соответственно лежащие на ребрах ,  и . Прямая  не параллельна прямой . Построить сечение данного тетраэдра плоскостью () (рис. 12).

Решение

Построим линии  и , которые принадлежат секущей плоскости и плоскостям () и () соответственно. Из точки  проведем прямую пересечения , параллельную . Соединив точки  и , получим последнюю линию пересечения .

Ответ: построено сечение, являющееся четырехугольником.

Выводы

Были рассмотрены прямые и плоскости в пространстве, взаимоотношение отдельных прямых, прямой и плоскости, плоскостей, и рассмотрена типовая задача на сечение тетраэдра.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Могут ли пересечься скрещивающиеся прямые?

2. Сколько в треугольной пирамиде пар скрещивающихся прямых?

3. Могут ли скрещиваться прямая и плоскость?

4. Почему параллельные плоскости не могут иметь общую прямую?

5. Дан тетраэдр , точка  на грани . Построить сечение тетраэдра  плоскостью, параллельной плоскости основания  и проходящей через точку .