01. Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Тема урока

На этом уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости и параллельные прямые, которые перпендикулярны к плоскости.

Определения перпендикулярности прямых в пространстве

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен .

Обозначение: .

Рассмотрим прямые и . Прямые могут пересекаться, скрещиваться, быть параллельными. Для того, чтобы построить угол между ними нужно выбрать точку и через нее провести прямую , параллельную прямой , и прямую , параллельную прямой . Прямые и  пересекаются. Угол между ними и есть угол между прямыми и . Если угол равен , то прямые и перпендикулярны.

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Доказательство:

Пусть даны две параллельные прямые и , и прямая , причем . Нужно доказать, что .

Возьмем произвольную точку . Через точку проведем прямую , параллельную прямой и прямую , параллельную прямой (рис. 2). Тогда угол равен .

Прямая параллельна прямой по условию, прямая  параллельна прямой по построению. Значит, прямые  и параллельны.

Имеем, прямые  и параллельны, прямые и  параллельны по построению. Значит, угол между прямыми и – это угол между прямыми  и , то есть угол , равный . Значит, прямые и перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Обозначение: .

Свойство

Если , то . (пересечение и ).

Доказательство:

Напоминание. Прямая и плоскость или пересекаются в одной точке, или параллельны, или прямая лежит в плоскости.

Если прямая параллельна плоскости  (рис. 4), то в плоскости  можно провести прямую , параллельную прямой . Получаем противоречие с определением перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая лежит в плоскости  (рис. 5), то в плоскости  можно провести прямую , параллельную прямой . Опять получаем противоречие с определением перпендикулярности прямой и плоскости.

Значит, если прямая перпендикулярна плоскости , то она пересекается с ней.

Теорема

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перепедикуляная к этой плоскости.

Доказательство.

Пусть прямая параллельна прямой . Прямая перепендикулярна плоскости . Докажем, что и прямая перпендикулярна плоскости .

Прямая перпендикулярна плоскости . Значит, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая лежит в плоскости , значит,  (см. рис. 6).

Прямая перпендикулярна прямой , а прямая параллельна прямой . Значит, прямая перпендикулярна прямой по лемме. Прямую мы выбирали произвольно. Значит, прямая перпендикулярна любой прямой в плоскости , то есть прямая перпендикулярна плоскости , что и требовалось доказать.

Обратная теорема

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Доказательство.

Пусть прямая перепендикулярна плоскости  и прямая перепендикулярна плоскости . Докажем, что прямая параллельна прямой .

Предположим, что прямая не параллельна прямой . Через точку прямой проведем прямую , параллельно прямой (рис. 8).

Прямые  и параллельны, прямая перпендикулярна плоскости . По теореме, прямая  также перпендикулярна плоскости .

Прямые и  пересекаются, а значит через них проходит некоторая плоскость. Пусть эта плоскость пересекает плоскость  по прямой . Тогда прямая  перпендикулярна прямой , так как прямая лежит в плоскости , а прямая  ей перпендикулярна.

Но тогда в плоскости, определенной пересекающимися прямыми и  через точку проходят два перпендикуляра и к прямой . Получаем противоречие. Значит, прямая параллельна прямой , что и требовалось доказать.

Задача 1

Дан параллелепипед (рис. 9). Докажите, что  и , если .

Доказательство.

– прямоугольник, так как в параллелограмме угол .

Прямая параллельна прямой , а прямая перпендикулярна прямой . Значит, по лемме, прямая перпендикулярна .

Прямая перпендикулярна прямой , а параллельна прямой . Значит, по лемме, прямая перпендикулярна . Задача доказана.

Рассмотрим другое доказательство факта, что .

Угол равен углу между прямыми и . Угол – прямой. Значит, прямые и перпендикулярны.

Задача 2

В тетраэдре - . Докажите, что , где и середины ребер и .

Доказательство.

– средняя линия треугольника . По свойству средней линии, параллельна .

Прямые и параллельны, а прямые и перпендикулярны. Значит, по лемме, прямые и перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Итоги урока

Итак, мы рассмотрели перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикулярность к плоскости параллельных прямых. На следующем уроке мы рассмотрим признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 5, 6, 7 стр. 54

2. Дайте определение перпендикулярности прямых в пространстве.

3. Равные стороны и четырехугольника перпендикулярны некоторой плоскости. Определите вид четырехугольника.

4. Сторона треугольника перпендикулярна некоторой прямой . Докажите, что одна из средних линий треугольника перпендикулярна прямой .