05. Перпендикулярность прямых и плоскостей

Определение прямой, перпендикулярной плоскости

Определение: прямая  называется перпендикулярной плоскости , если она перпендикулярна любой прямой из плоскости .

Прямая  перпендикулярна прямой , прямая  параллельна прямой . Тогда имеем две скрещивающиеся прямые  и . Найдем угол между этими скрещивающимися прямыми: необходимо из точки , провести две прямые: одну – параллельную , вторую – параллельную . Угол между построенными прямыми и будет углом между скрещивающимися прямыми  и . Возьмем точку , лежащую на прямой  и являющуюся точкой пересечения прямой и плоскости. Тогда угол между прямыми  и  равен углу между  и , то есть, прямые перпендикулярны. Значит, если прямая  перпендикулярна плоскости , то она перпендикулярна всем прямым плоскости , причем как проходящим через точку пересечения прямой и плоскости, так и не проходящим (рис. 1).

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если в плоскости  есть две пересекающиеся прямые  и  и прямая  перпендикулярна этим двум прямым и проходит через точку их пересечения, то прямая  перпендикулярна плоскости  (рис. 2).

Если прямая  перпендикулярна плоскости  и прямая  перпендикулярна плоскости , то прямые  и  параллельны (рис. 3).

Наклонная к плоскости и ее проекция, угол между наклонной и плоскостью

Определение: если прямая пересекается с плоскостью и не перпендикулярна этой плоскости, то такая прямая называется наклонной к плоскости (рис. 4).

Существует возможность узнать угол между наклонной прямой  и плоскостью . Для этого необходимо провести из точки , принадлежащей наклонной, перпендикуляр к плоскости , а затем соединить точки пересечения плоскости с наклонной и перпендикуляром. Полученный отрезок называется проекцией наклонной  на плоскость . Угол между наклонной и ее проекцией на плоскости и называется углом между наклонной и плоскостью () (рис. 5).

Замечание: если провести любую прямую в плоскости , отличную от проекции, то угол, между проведенной прямой и наклонной всегда будет больше, чем между наклонной и ее проекцией.

Теорема о трех перпендикулярах с доказательством

Теорема о трех перпендикулярах: Прямая  лежит в плоскости . Наклонная проходит через прямую  (). Опустим на плоскость  перпендикуляр и получим проекцию . Если наклонная перпендикулярна прямой  на плоскости , то ее проекция тоже перпендикулярна прямой . Обратно: если проекция перпендикулярна прямой , то и наклонная перпендикулярна  (рис. 6).

Доказательство:

Дана наклонная , перпендикулярная прямой  на плоскости . Доказать, что проекция наклонной перпендикулярна .

Доказательство: прямая  перпендикулярна по условию, и перпендикулярна , так как перпендикулярна ко всей плоскости , а значит и к любой прямой внутри нее. Прямая  перпендикулярна прямым и , и прямые и пересекаются в точке . Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая  перпендикулярна любой прямой из плоскости (), образованной прямыми и , а значит, она перпендикулярна и проекции .

Решение задачи

Задача №1:

Через точку пересечения диагоналей квадрата , сторона которого равна , проведена прямая , перпендикулярная плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки до вершин квадрата, если  (рис. 7).

Решение

 – по двум катетам, так как это прямоугольные треугольники ( перпендикулярен всем прямым плоскости квадрата, включая диагонали этого квадрата) и катет общий, а вторые катеты треугольников равны (это следует из свойств квадрата – его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, значит ).

Так как треугольники равны, то и их гипотенузы, являющиеся искомым расстоянием от точки до вершин квадрата, также равны. Следовательно, нам необходимо найти длину лишь одной из гипотенуз, например, .

Рассмотрим треугольник : это прямоугольный треугольник с равными катетами, так как диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, углы  и  равны , и из условия известно, что гипотенуза равна  – значит, можно найти катеты:

.

Рассмотрим треугольник : , , . Найдем гипотенузу :

.

Ответ: расстояние от точки до вершин квадрата равно .

Выводы

Было рассмотрено взаимоотношение прямой и плоскости, когда прямая перпендикулярна плоскости, рассмотрена и прокомментирована теорема о трех перпендикулярах и решена конкретная задача, в которой эти понятия используются.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Если прямая перпендикулярна плоскости, то перпендикулярна ли она скрещивающейся прямой, лежащей в этой плоскости?

2. Может ли наклонная быть перпендикулярна к плоскости?

3. Могут ли наклонная к плоскости и перпендикуляр к этой плоскости образовать новую плоскость?

4. В формулировке теоремы о трех перпендикулярах речь идет о двух перпендикулярах (наклонной к прямой в плоскости и проекции этой наклонной к этой же прямой в плоскости), так о каком третьем перпендикуляре говорит название теоремы?

5. Через точку пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна , проведена прямая , перпендикулярная плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки до вершин квадрата и расстояние от точки до сторон квадрата, если .