05. Пирамида. Правильная и усечённая пирамиды

Правильная треугольная пирамида

Определение: правильной -угольной пирамидой называется такая пирамида, у которой в основании лежит правильный -угольник, и высота проецируется в центр этого -угольника (рис. 1).

Правильная треугольная пирамида

Для начала рассмотрим (рис. 2), в котором (то есть в основании пирамиды лежит правильный треугольник). У правильного треугольника центр вписанной и описанной окружности совпадают и являются центром самого треугольника. В данном случае центр находится следующим образом: находим середину – , проводим отрезок , который является медианой, биссектрисой и высотой; аналогично находим середину – и проводим отрезок . Пересечением и будет точка , которая является центром .

Если соединить центр треугольника с вершиной пирамиды , то получим высоту пирамиды , .

Соединив точку с точками , и получим боковые ребра пирамиды.

Мы получили правильную треугольную пирамиду (рис. 2).

Стандартные задания на пирамиды (Sосн,Sбок ,ha)

Известны стороны основания – и высота пирамиды – . Необходимо найти:

1.

2. ,

3.

4.

Решение:

1. Найти Sосн

Если есть (рис. 3), сторона которого равна а, то .

2. Найти Sбок ,hа

Отрезок называется апофемой (рис. 2). Апофему найдем из прямоугольного треугольника . Известен катет , второй катет найдем из (рис. 3).

Для начала найдем высоту из прямоугольного треугольника :

Высота состоит из радиуса вписанной окружности и из радиуса описанной окружности (причем ).

;

Следовательно:

Зная катеты , мы можем найти гипотенузу:

Найдя апофему можно без труда найти:

И

Стандартные задания на пирамиды (двугранные углы)

Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему .

3. Найти ∠(АВ)

Двугранный угол при ребре есть угол между плоскостями и . Обозначим его .

Избавимся от иррациональности в знаменателе путем умножения и деления выражения на :

Зная тангенс угла, можем найти сам угол:

5)∠4. Найти(∠ (SC)

Проведем и , , тогда . Обозначим его как (рис. 4)

Для нахождения угла рассмотрим равнобедренный треугольник . Основание треугольника , а боковые стороны найдем из (который тоже является равнобедренным треугольником).

B известны основание и боковые стороны . Необходимо найти высоту ,высоту, проведенную из точки А. Для этого нужно найти площадь треугольника:

Из данного уравнения найдем :

По теореме косинусов:

Косинус угла однозначно определяет угол в треугольнике, поэтому дальше задача очевидная.

Усеченная правильная пирамида

Усеченная правильная пирамида

Любая усеченная пирамида является многогранником, образованным пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Теорема о боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полу суммы периметров на апофему.

Площадь одной боковой грани усеченной пирамиды есть площадь трапеции (рис. 5)

А площадь всей боковой поверхности .

Выводы:

Мы рассмотрели правильную пирамиду и стандартные задачи на нее, включая двугранные углы. А также усеченную правильную пирамиду.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Домашнее задание

1. Какое наименьшее число ребер может иметь пирамида?

2. Сколько ребер у -угольной усеченной пирамиды?

3. На Рис. 4 мы провели перпендикуляр к ребру и соединили точку и . Докажите, что .

4. В правильной четырехугольной пирамиде  (точка  – центр основания,  – вершина) боковое ребро , а диагональ основания . Найдите длину отрезка .

5. В правильной треугольной пирамиде точка  – середина ребра ,  – вер­шина. Известно, что , а . Найдите площадь боковой поверхности пи­рамиды.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).