04. Пирамида. Правильная пирамида

Тема и цели урока

На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение.

Определение пирамиды

Рассмотрим многоугольник , который лежит в плоскости , и точку , которая не лежит в плоскости (рис. 1). Соединим точку с вершинами . Получим треугольников: , и так далее.

Определение. Многогранник , составленный из -угольника и треугольников , , называется -угольной пирамидой. Рис. 1.

Пример пирамиды

Рассмотрим четырехугольную пирамиду (рис. 2).

– вершина пирамиды.

– основание пирамиды.

– боковое ребро.

– ребро основания.

Из точки опустим перпендикуляр на плоскость основания . Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды

Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если:

• ее основание – правильный многоугольник;

• отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду (рис. 3).

– вершина пирамиды. Основание пирамиды – правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка , точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, – это высота пирамиды.

Пояснение: в правильном n-угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается .

Свойства правильной пирамиды

1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;

2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Доказательство этих свойств приведем на примере правильной четырехугольной пирамиды.

Дано: – правильная четырехугольная пирамида, – квадрат, – высота пирамиды.

Доказать:

1. 

2.  См. Рис. 4.

Доказательство.

– высота пирамиды. То есть, прямая перпендикулярна плоскости , а значит, и прямым , , и , лежащим в ней. Значит, треугольники , , , – прямоугольные.

Рассмотрим квадрат . Из свойств квадрата следует, что .

Тогда у прямоугольных треугольников , , , катет – общий и катеты , , и равны, значит, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство отрезков, . Пункт 1 доказан.

Отрезки и равны, так как являются сторонами одного квадрата, .  Значит, треугольники и – равнобедренные и равны по трем сторонам.

Аналогичным образом получаем, что треугольники , , , равнобедренны и равны, что и требовалось доказать в пункте 2.

Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.

Дано:  – правильная треугольная пирамида, , – высота.

Доказать: . См. Рис. 5.

Доказательство.

 – правильная треугольная пирамида. То есть . Пусть – центр треугольника , тогда – это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник . Заметим, что .

Треугольники , , – равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: , , . Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Теорема доказана.

Задача 1

Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано: правильная четырехугольная пирамида , – квадрат, , – высота пирамиды, .

Найти: . См. Рис. 6.

Решение.

По доказанной теореме, .

Найдем сначала сторону основания . Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.

Тогда, .

Найдем периметр квадрата со стороной 6 м:

Рассмотрим треугольник . Пусть – середина стороны . Так как – середина , то  (м).

Треугольник – равнобедренный. – середина . То есть, – медиана, а значит, и высота в треугольнике . Тогда – апофема пирамиды.

– высота пирамиды. Тогда, прямая перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой , лежащей в ней. Найдем апофему из прямоугольного треугольника .

.

Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:

.

Ответ: .

Задача 2

Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен  м. Площадь боковой поверхности равна . Найдите длину апофемы.

Дано: – правильная треугольная пирамиды, , , .

Найти: . См. Рис. 7.

Решение.

В правильном треугольнике дан радиус описанной окружности. Найдем сторону этого треугольника с помощью теоремы синусов.

;

;

.

Зная сторону правильного треугольника (), найдем его периметр.

.

По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где – апофема пирамиды. Тогда:

.

Ответ: 4 м.

Итоги урока

Итак, мы рассмотрели, что такое пирамида, что такое правильная пирамида, доказали теорему о боковой поверхности правильной пирамиды. На следующем уроке мы познакомимся с усечённой пирамидой.

Список литературы

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?

2. Докажите, что непересекающиеся ребра правильной пирамиды перпендикулярны.

3. Найдите величину двугранного угла при стороне основания правильной четырехугольной пирамиды, если апофема пирамиды равна стороне ее основания.

4.  – правильная треугольная пирамида. Постройте линейный угол двугранного угла при основании пирамиды.