07. Пирамида

Повторение взаимного расположения элементов в пространстве

В стереометрии две прямые могут совпадать, пересекаться, быть параллельными и скрещиваться.

Взаимоотношение между прямой и плоскостью в пространстве: прямая может лежать в плоскости, может пересекаться с ней и может быть параллельной плоскости.

Взаимоотношение между плоскостями в пространстве: две плоскости могут совпадать, пересекаться или быть параллельными друг другу.

Рассмотрим случай, когда плоскости пересекаются.

Плоскость  пересекается с плоскостью  по прямой . При этом образуются две полуплоскости, которые образуют двугранный угол. В большинстве случаев требуется построить и найти линейный угол. Для этого на ребре  выбирается точка и из нее восстанавливаются два перпендикуляра к этому ребру: первый – , лежащий в плоскости , второй – , лежащий в плоскости . Угол между прямыми  и  и есть угол между плоскостями  и  (рис. 1).

Повторение свойств плоскости линейного угла с доказательствами

Плоскость линейного угла перпендикулярна всем элементам двугранного угла (двум полуплоскостям и ребру) (рис. 2).

Доказательство:

1. Прямая  перпендикулярна двум пересекающимся прямым  и  из плоскости , значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая  перпендикулярна плоскости .

2. Прямая  лежит в плоскости  и перпендикулярна плоскости , значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости  и  перпендикулярны.

3. Прямая  лежит в плоскости  и перпендикулярна плоскости , значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости  и  перпендикулярны.

Решение задач по теме Пирамида, двугранный угол при основании пирамиды

Задача №1:

В основании пирамиды лежит правильный треугольник . Длина вписанной в треугольник окружности равна см. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом . Найти площадь основания, высоту , ребро пирамиды, апофему грани пирамиды, двугранный угол при основании пирамиды, постройте линейный угол при боковом ребре (рис. 3).

Решение

Длина окружности равна  и равна . Значит, радиус вписанной окружности равен 1 см. Вписанная в правильный треугольник окружность пересекается со стороной в точке , и отрезок  является радиусом этой окружности. По свойствам медиан:

.

 является высотой и состоит из радиуса вписанной окружности и радиуса описанной окружности: . В прямоугольном треугольнике  () катет , а угол . Найдем гипотенузу этого треугольника, являющуюся стороной треугольника :

.

Найдем площадь основания:

Докажем, что высота пирамиды проектируется в центр треугольника , то есть, что пирамида – правильная. Рассмотрим треугольники . Они равны, так как они прямоугольные (), имеют общий катет и одинаковый угол наклона, равный . Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон (), значит, – центр треугольника. Таким образом, пирамида правильная, так как в ее основании правильный треугольник и ее высота проектируется в его центр. Из треугольника , найдем высоту и сторону .  прямоугольный (), катет  см, угол . Получается , а катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы, значит,  см. Высота :

.

Для двугранного угла найдем апофему . Рассмотрим :  является гипотенузой, значит:

 см.

Найдем двугранный угол при основании пирамиды: из точки  проведены два перпендикуляра в плоскостях () и () (т. к.  – середина и, соответственно,  и  – биссектриса и высота правильного треугольника и равнобедренного треугольника ), значит,  – линейный угол двугранного угла. Найдем для него тангенс из треугольника :

Построим линейный угол при боковом ребре: Проведем из точки перпендикуляр (). Соединим с и получим перпендикуляр к прямой . , так как треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними (, – общая, ). Значит, двугранный угол при ребре , то есть угол между плоскостями () и (), построен ().

Ответ: площадь основания равна , высота равна  см, сторона пирамиды равна 4 см, апофема грани пирамиды равна  см, двугранный угол при основании равен .

Выводы

Была рассмотрена типовая задача на правильную пирамиду. Было доказано, что пирамида правильная, и найдены различные неизвестные. Было найдено значение двугранного угла при основании пирамиды, и построен угол при боковом ребре.

Список литературы по теме \"Пирамида\", \"Двугранный угол при основании пирамиды\", \"Взаимное расположение элементов в пространстве\"

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Что такое двугранный угол?

2. Если пересекаются две плоскости, могут ли они образовывать хотя бы два неравных двугранных угла?

3. В правильной пирамиде апофема никогда не перпендикулярна плоскости основания, можно ли утверждать, что она высота одной из граней пирамиды?

4. В основании пирамиды лежит правильный треугольник, достаточно ли этого для того, чтобы утверждать, что она правильная?

5. В основании пирамиды лежит правильный треугольник . Длина вписанной в треугольник окружности равна  см. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом . Постройте линейный угол при боковом ребре и найдите его значение.