01. Тетраэдр. Задачи на построение
25 мин
02. Параллелепипед, его свойства. Простейшие задачи на построение сечений
22 мин
03. Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда в более сложных случаях
26 мин
04. Параллельность прямых и плоскостей
21 мин
05. Перпендикулярность прямых и плоскостей
23 мин
06. Двугранный угол
21 мин
07. Пирамида
22 мин
08. Призма
22 мин
09. Куб
24 мин
10. Пирамиды с высотой в центре вписанной или описанной окружности основания
18 мин
11. Пирамиды с боковой гранью, перпендикулярной плоскости основания
20 мин
12. Сравнение длин. Задачи на плоскости
17 мин
13. Сравнение длин. Задачи в пространстве
18 мин
14. Векторы
23 мин
15. Примеры экзаменационных задач по геометрии
29 мин
11. Пирамиды с боковой гранью, перпендикулярной плоскости основания
Видео доступно по абонементу
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Опорные факты:
Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если в плоскости есть две пересекающиеся прямые и , и прямая перпендикулярна этим двум прямым и проходит через точку их пересечения, то прямая перпендикулярна плоскости (рис. 1).
Плоскости называются перпендикулярными, если они составляют двугранный угол .
Признак перпендикулярности плоскостей
Признак перпендикулярности плоскостей: Если есть прямая , перпендикулярная плоскости , то любая плоскость , проходящая через прямую , перпендикулярна (рис. 2).
Задачи на пирамиды с боковой гранью, перпендикулярной плоскости основания
Задача 1
Основание пирамиды – квадрат со стороной 6 см. Высота пирамиды проходит через одну из вершин основания и равна 8 см. Докажите, что боковые грани пирамиды – попарно равные прямоугольные треугольники. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды (рис. 3).
Решение
Так как прямая , то (, – общий катет, см – по условию, значит они равны по двум катетам).
Для наклонной , проекцией является прямая . – по условию, значит, по теореме о трех перпендикулярах, . Значит, – прямоугольный.
Аналогично: – прямоугольный, так как и, соответственно, .
, так как , – общая гипотенуза, см – по условию, значит, они равны по катету и гипотенузе.
Найдем площадь треугольника : .
Найдем площадь треугольника :
Найдем площадь боковой поверхности, учитывая, что она равна сумме 4 треугольников, которые попарно равны: .
Ответ: площадь боковой поверхности равна .
Выводы
Были рассмотрены основные опорные факты для пирамид с боковой гранью, перпендикулярной плоскости основания.
Список литературы
И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.
Домашнее задание
При любом ли основании пирамиды возможен случай проекции высоты пирамиды на грань основания?
Какую теорему необходимо использовать для доказательства перпендикулярности бокового ребра пирамиды прямой в основании пирамиды, если этой прямой в основании перпендикулярна проекция бокового ребра?
Может ли высота правильной пирамиды проектироваться в ребро основания?
Найдите сторону ромба, лежащего в основании пирамиды, если ее высота, равная 6 см, проектируется на эту сторону и образует с боковым ребром угол ?
Какой угол между высотой и ребром пирамиды, если высота проектируется на середину ребра основания и равна его половине?