10. Пирамиды с высотой в центре вписанной или описанной окружности основания

Задачи на пирамиды, в которых высота проектируется в центр описанной окружности

Замечание: если боковые грани наклонены под одинаковым углом к плоскости основания, то высота проектируется в центр вписанной окружности. Если боковые ребра одинаковы или наклонены под одинаковым углом к основанию, то высота проектируется в центр описанной окружности.

Задача 1

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см. Все боковые ребра пирамиды равны 26 см. Доказать, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и найти высоту пирамиды (рис. 1).

Решение

Пусть – высота (). Соединим точку с вершинами основания. Получим четыре равных треугольника  по гипотенузе и катету (так как они прямоугольные ( – высота), катет – общий, а гипотенузы равны по условию).

Из равенства треугольников следует равенство катетов: . Значит, точка равноудалена от всех вершин основания и поэтому является центром описанной около прямоугольника в основании окружности.

Найдем диагональ , из треугольника :

.

Рассмотрим треугольник : он прямоугольный,  см,  см. По теореме Пифагора найдем :

.

Ответ: высота равна 24 см.

Задачи на пирамиды, в которых высота проектируется в центр вписанной окружности

Задача 2

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 6 см, 5 см, 5 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом . Найдите высоту пирамиды (рис. 2).

Решение

Пусть – высота (). Опустим перпендикуляры , , . Так как , то , значит  по условию. Аналогично  и . Значит , потому что они прямоугольные ( – высота), углы при основании пирамиды равны и катет – общий.

Из равенства треугольников вытекает равенство катетов , то есть точка равноудалена от сторон треугольника, а значит является центром вписанной окружности.

Рассмотрим : его площадь равна  и равна , где – радиус вписанной окружности, а – полупериметр. Найдем :

.

 см, так как  – прямоугольный и «египетский» (стороны равны 3 см, 4 см, 5 см).

.

Так как острые углы в треугольнике  равны , то .

Ответ: высота пирамиды 1,5 см.

Выводы

Были рассмотрены две задачи на пирамиды, в которых высота проектируется в центр описанной или вписанной окружности.

Список литературы по теме \"Вниманная, описанная окружность\", \"Основание пирамиды\"

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «uznateshe.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. При каком основании пирамиды возможен случай проекции высоты пирамиды в основание окружности вписанной, но не в основание вписанной?

2. Что нужно для доказательства того, что высота пирамиды проектируется в центр вписанной окружности?

3. Найдите диагональ прямоугольника в основании пирамиды с боковыми ребрами равными 8 см, и высотой 4 см.

4. Найдите сторону ромба, лежащего в основании пирамиды, если ее высота равна 6 см, а все ребра грани с плоскостью основания углы ?

5. Какой угол между высотой и ребром пирамиды, если все боковые ребра равны радиусу описанной около основания окружности?