07. Площадь поверхности пирамиды

Пирамида, основные понятия и элементы

Вспомним понятие n-угольной пирамиды. Она получается следующим образом: в плоскости  лежит -угольник с вершинами , ,  и т. д. Вне плоскости  лежит точка . Точка соединяется с вершинами -угольника – получаем пирамиду (рисунок 1).

Определение.

Многогранник , составленный из -угольника  и треугольников , …, называется пирамидой.

Площадь поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания:

Площадь основания пирамиды, площади основных правильных многоугольников

Рассмотрим нахождение площади основания правильной -угольной пирамиды. Правильный -угольник, как нам известно, имеет равные стороны и равные внутренние углы. Решим следующую задачу: для -угольника с заданной длиной стороны () и количеством углов () найти площадь (рисунок 2).

Рассмотрим треугольник , в нем найдем угол . Таких углов всего n штук, значит:

Половина этого угла, угол .

Треугольник , где – середина стороны , прямоугольный. В нем – радиус вписанной в -угольник окружности,  – радиус описанной окружности. Поскольку у нас задан по условию катет рассматриваемого прямоугольного треугольника () и мы нашли острый угол (), то по соотношениям в прямоугольном треугольнике мы легко найдем все остальные элементы.

Чтобы найти площадь -угольника, нужно сложить n площадей треугольников вида . Чтобы найти площадь этого треугольника, найдем катет прямоугольного треугольника :

Площадь треугольника определяется по формуле:

Теперь получим площадь всего n-угольника:

Рассмотрим наиболее распространенные частные случаи:

Площадь правильного треугольника:

Площадь квадрата:

Площадь правильного шестиугольника:

Чтобы нарисовать правильный шестиугольник, удобно пользоваться следующим алгоритмом (рисунок 3):

Построить окружность (зеленая пунктирная линия) Провести диаметр (синяя пунктирная линия) Отметить середины радиусов построенного диаметра Провести через середины перпендикуляры (красные пунктирные линии) Получены вершины шестиугольника – построить шестиугольник.

Чтобы найти площадь правильного шестиугольника действуем стандартным методом. Рассматриваем треугольник , в нем находим угол , таких углов шесть, имеем:

Поскольку отрезки и равны, то углы и также составляют по . Так, рассматриваемый треугольник правильный. Его площадь нам известна:

Площадь шестиугольника состоит из шести таких площадей:

Площадь боковой поверхности пирамиды

Рассмотрим нахождение площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Где  – периметр основания; – апофема.

Определение.

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Задача 1

В правильной треугольной пирамиде известна сторона основания и высота. Найти площадь боковой поверхности.

Решение. Проиллюстрируем условие задачи:

Задана правильная пирамида с вершиной и основанием . – высота пирамиды,  – апофема. Сторона основания равняется . Высота равняется . Высота и сторона основания полностью задают правильную пирамиду.

По вышеприведенной формуле для того, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, необходимо найти ее апофему и полупериметр основания. Периметр основания нам известен, так как задана сторона основания. Найдем апофему из прямоугольного треугольника . Один из катетов задан по условию – . Найдем второй катет , он соответствует радиусу вписанной в треугольник окружности, формула нам известна:

Найдем апофему по теореме Пифагора:

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды:

Связь площади треугольника с площадью его проекции

Площадь боковой поверхности и площадь основания пирамиды связаны через величину двугранного угла при основании.

Решение задач

Задача 2

– перпендикуляр к плоскости треугольника . Из точки опущен перпендикуляр к прямой . . Доказать:

Решение. Проиллюстрируем условие:

Треугольник – это проекция треугольника . Нужно доказать, что площадь проекции есть площадь исходного треугольника на косинус двугранного угла между ними. Поскольку – перпендикуляр к , то и – перпендикуляр к по теореме о трех перпендикулярах. Значит, угол  – это линейный угол двугранного угла с ребром . – часть боковой поверхности, – часть основания.

Найдем отношение площадей интересующих нас треугольников:

Рассмотрим прямоугольный треугольник . В нем – гипотенуза, – катет, прилежащий к заданному углу . Отсюда заключаем:

;

;

.

Что и требовалось доказать.

Задача 3

Доказать для правильной треугольной пирамиды: , где  – угол наклона боковой грани к основанию.

Решение. Проиллюстрируем условие:

Задана правильная треугольная пирамида с основанием и вершиной .  – линейный угол двугранного угла с ребром , точкой в одной плоскости и точкой в другой плоскости.

Очевидно, что угол наклона  боковой грани к основанию пирамиды одинаков для всех боковых граней, то есть если ,  и  – середины отрезков , и соответственно, то: .

В задаче 2 мы доказали: .

Аналогично:

Выполним сложение полученных выражений.

Что и требовалось доказать.

Задача 4

Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом . Докажите, что вершина пирамиды проектируется в центр вписанной в треугольник окружности и что .

Решение. Проиллюстрируем условие задачи:

Пусть – высота пирамиды. Найдем место расположения точки . Из точки опустим перпендикуляры к сторонам треугольника – , , .

Поскольку  – перпендикуляр к , то по теореме о трех перпендикулярах . Аналогично:  и . Тогда  – линейный угол двугранного угла при ребре ,  – линейный угол двугранного угла при ребре ,  – линейный угол двугранного угла при ребре . По условию . Так, имеем равные прямоугольные треугольники: , ,  (по общему катету и равному острому углу). Из равенства треугольников следует равенство катетов: .

Так, точка равноудалена от сторон треугольника , то есть это центр его вписанной окружности, что и требовалось доказать.

Поскольку – высота пирамиды, то треугольники , , – это проекции треугольников , и соответственно. Имеем (основываясь на задаче 2):

Выполним сложение полученных выражений.

Что и требовалось доказать.

Итак, мы рассмотрели площадь поверхности пирамиды, в частности, площадь основания и площадь боковой поверхности, следующий урок будет посвящен задачам.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «rapidus.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Задача 1: основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно основанию. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом . Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите высоту пирамиды и площадь боковой поверхности.

2. Задача 2: основанием пирамиды является прямоугольный треугольник , у которого гипотенуза – 29 см, катет – 21 см. Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3. Задача 3: основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы  и . Найдите площадь поверхности пирамиды.