06. Повторение теории и решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости (продолжение)

На этом уроке мы повторим пройденную теорию и продолжим решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Пусть нам дана плоскость . В этой плоскости лежат две прямые и , пересекающиеся в точке (рис. 1). Прямая перпендикулярна прямой и прямой . Согласно признаку, прямая перпендикулярна плоскости , то есть перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Стандартный прием

Пусть нам нужно доказать перпендикулярность двух прямых и .

Доказательство можно осуществить следующим образом. Нужно подыскать такую плоскость, которая проходит через прямую и перпендикулярна прямой .

Конечно, в каждом случае, в каждой конкретной задаче это делается по-разному. Но, общий прием такой: надо найти две прямые и , которые пересекаются и каждая из них перпендикулярна прямой , и тогда плоскость , которая проходит через прямые и , будет перпендикулярна прямой .

Тогда получаем: прямая лежит в плоскости α, плоскость α перпендикулярна прямой . Так как прямая перпендикулярна плоскости , то она перпендикулярна любой прямой из плоскости , в том числе и нужной прямой . 

Задача 1

В треугольнике сумма углов и равна (рис. 2). Прямая перпендикулярна плоскости . Докажите, что прямая перпендикулярна прямой . 

Дано: В , 

Доказать:

Доказательство:

Так как , то .

Итак, прямая перпендикулярна прямой , прямая перпендикулярна прямой , т.к. перпендикулярна по условию плоскости . Значит, прямая перпендикулярна двум пересекающимся в точке прямым из плоскости .

Получаем, что прямая перпендикулярна плоскости (по признаку), а значит, и прямой , так как , что и требовалось доказать.

Задача 2

Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая так, что , . Докажите, что прямая перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

Дано: – параллелограмм.

, . 

Доказать: . 

Доказательство:

Рассмотрим треугольник . По условию треугольник равнобедренный.

По свойству параллелограмма - середина , т.е. – медиана в треугольнике . Медиана в равнобедренном треугольнике является и высотой, получаем, что прямая перпендикулярна прямой .

Рассмотрим треугольник . По условию треугольник равнобедренный. Точка – середина . Значит, – медиана, а значит, и высота, т.е. прямая перпендикулярна прямой .

Получаем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и из плоскости значит, прямая перпендикулярна плоскости (по признаку), что и требовалось доказать.

Задача 3

Прямая перпендикулярна к плоскости квадрата , диагонали которого пересекаются в точке (рис. 4). Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .

 Дано: – квадрат.

. 

Доказать: . 

Доказательство:

Прямая перпендикулярна прямой по свойству квадрата (диагонали квадрата перпендикулярны).

Прямая также перпендикулярна прямой , потому что перпендикулярна плоскости квадрата, а значит, и прямой .

Получаем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и из плоскости . Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости по признаку, что и требовалось доказать.

Задача 4

Через вершину квадрата проведена прямая (рис. 5). Известно, что , , . Найдите расстояние от точки до вершин квадрата.

Дано: – квадрат.

, . 

Найти: , , , .

Решение:

Треугольники и прямоугольные. Катет общий, (так как стороны квадрата равны). Треугольники и равны (по двум катетам). Значит, и гипотенузы их равны. Найдем их длину по теореме Пифагора:

Прямая перпендикулярна прямой и прямой из плоскости (по условию). Следовательно, прямая перпендикулярна любой прямой из плоскости . Значит, прямая перпендикулярна прямой . Получаем, что угол – прямой, а значит, треугольник прямоугольный. Найдем гипотенузу :

Ответ: , , .

Итоги урока

Итак, мы решили серию задач на перпендикулярность прямой и плоскости. На следующем уроке мы перейдем к теореме о трех перпендикулярах.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Рекомендованное домашнее задание

1. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Дана окружность с центром в точке . Прямая перпендикулярна плоскости окружности. Докажите, что прямая перпендикулярна любому радиусу окружности.

3. В треугольнике проведена высота . Прямая перпендикулярна плоскости . Перпендикулярна ли прямая плоскости ?

4. Прямая перпендикулярна плоскости квадрата . Найдите длину отрезков , , , если сторона квадрата равна , .