05. Повторение теории и решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости

На этом уроке мы повторим теоретический материал прошлых уроков и решим типовые задачи на перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой , лежащей в этой плоскости (рис. 1).

, если , где

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

В плоскости лежат две прямые и , пересекающиеся в точке . Прямая перпендикулярна прямой и прямой (рис. 2). Согласно признаку, прямая перпендикулярна плоскости .

Теорема о существовании прямой, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости

Через любую точку пространства проходит единственная прямая , перпендикулярная плоскости .

Задача 1

Прямая параллельна плоскости (рис. 4). Через точки и проведены прямые, перпендикулярные к плоскости , которые пересекают эту плоскость соответственно в точках и . Докажите, что .

Дано: , , , , .

Доказать: .

Доказательство:

Две прямые и перпендикулярны к одной и той же плоскости . Значит, эти прямые параллельны между собой. Пусть через них проходит плоскость . В плоскости прямые и параллельны, так как по условию параллельна .

Рассмотрим прямоугольник . В прямоугольнике противоположные стороны равны, значит, , что и требовалось доказать.

Задача 2

Через точки и прямой проведены прямые, перпендикулярные плоскости и пересекающие ее соответственно в точках и .

Найдите , если ., ., .

Дано: ; , ; ; .

Найти: .

Решение:

Две прямые и перпендикулярны к одной и той же плоскости . Значит, прямые и параллельны. Значит, через них проходит единственная плоскость . Прямая перпендикулярная плоскости , а значит и прямой . Так как прямые и параллельны, а угол прямой, то четырехугольник - прямоугольная трапеция.

Проведем прямую перпендикулярно прямой . Отрезки и равны.

Отрезок равен отрезку . Найдем : .

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, так как угол прямой. Найдем катет .

.

.

Ответ: 9 см.

Задача 3

Четырехугольник – квадрат. Точка его центр. Прямая перпендикулярна к плоскости квадрата.

а) Докажите, что .

б) Найдите , если , .

Напоминание:

Рассмотрим квадрат  (рис. 7). Как известно, точка пересечения диагоналей равноудалена и от вершин квадрата, и от сторон квадрата. То есть она является центром описанной окружности с радиусом и центром вписанной окружности с радиусом . Точка и называется центром квадрата, т.е. это точка пересечения диагоналей. Если сторона квадрата равна , то радиус описанной окружности равен:

Радиус вписанной окружности равен:

Дано: – квадрат, – центр квадрата, , , .

Доказать: .

Найти: .

Прямая перпендикулярна плоскости , а значит, прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости, в том числе и диагоналям квадрата. Значит, треугольники , , , прямоугольные.

Рассмотрим треугольники , , , . По свойству квадрата . Значит, эти стороны треугольников равны друг другу. Катет общий. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Из равенства прямоугольных треугольников вытекает равенство его гипотенуз: , что и требовалось доказать. Найдем теперь отрезок .

Рассмотрим квадрат . – это радиус описанной окружности. Получаем:

.

Рассмотрим прямоугольный треугольник . С помощью теоремы Пифагора найдем гипотенузу :

.

Ответ: 3 см.

Итоги урока

Итак, мы повторили доказательства теорем, основные опорные факты и решили типовые задачи на перпендикулярность прямой и плоскости.

Следующий урок мы посвятим задачам по данной теме.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru‎» (Источник).

2. Интернет-портал «‎urok.1sept.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 12, 13, 14 стр. 58

2. Отрезок – общее основание равнобедренных треугольников. Найдите фигуру, которую образовывают третьи вершины всех таких треугольников.

3. Докажите, что если прямая перпендикулярна прямой и плоскости , то прямая параллельна плоскости .

4. Прямая перпендикулярна прямой , а прямая параллельна плоскости . Перпендикулярна ли прямая плоскости ?