19. Повторение теории и решение задач по теме «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей»

Тема и цели урока

Тема данного урока – «Повторение теории и решение задач по теме “Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей”». На этом занятии мы повторим теорию, вспомнив определение параллельных прямых и лемму о пересечении параллельными прямыми плоскости. Далее повторим определение параллельности прямой и плоскости и ее признак. Затем решим несколько задач по теме «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей».

Повторение теории, двугранный угол

Двугранный угол

Двухгранный угол - это фигура, образованная прямой и двумя полуплоскостями с общей границей .

Обозначение. Двугранный угол (рис. 1) часто записывают так: .

- общая граница. Точка лежит в одной полуплоскости и точка лежит в другой полуплоскости . 

Линейный угол двугранного угла

Линейный угол двугранного угла строится следующим образом: выбирается точка на общей границе . Проводится перпендикуляр к прямой в плоскости . Проводится перпендикуляр к в плоскости . Полученный угол является линейным углом двугранного угла, где , .

Измерение двугранного угла

Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

Свойство 1.

Плоскость линейного угла и прямая перпендикулярны. .

Доказательство:

Так как прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и , то прямая перпендикулярна плоскости .

Задача 1

Точки и лежат на ребре данного двугранного угла, равного .

Отрезки и проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла.

Найдите отрезок , если .

Дано: , , , , , .

Найти: .

Решение:

Здесь дан тупой двугранный угол, .

– ребро двугранного угла, точка лежит в одной полуплоскости, точка лежит в другой полуплоскости. В одной полуплоскости проведена прямая , перпендикулярная . В другой полуплоскости проведена прямая , перпендикулярная .

Проведем перпендикулярно и параллельно (рис. 2). Тогда угол – линейный угол двугранного угла, а значит, .

Так как прямые и перпендикулярны одной и той же прямой , то прямые и – параллельны. В четырехугольнике противоположные стороны параллельны (, ), значит, – параллелограмм. Значит, .

Рассмотрим треугольник . Найдем  с помощью теоремы косинусов:

Прямая перпендикулярна плоскости линейного угла (по свойству 1), значит, и параллельная ей прямая перпендикулярна плоскости линейного угла. А значит, прямая   перпендикулярна прямой , лежащей в плоскости линейного угла, то есть угол прямой.

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим гипотенузу .

Ответ: .

Повторение теории, перпендикулярность плоскостей

Определение. Плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен .

Имеем плоскости и , которые образуют двугранный угол. – ребро двугранного угла (рис. 3). Построим линейный угол данного двугранного угла. Возьмем точку на ребре . Проведем прямую перпендикулярно ребру в плоскости и прямую перпендикулярно ребру в плоскости . Тогда, – линейный угол двугранного угла. Если , то плоскости и перпендикулярны.

Признак перпендикулярности плоскостей

Пусть, прямая перпендикулярна плоскости и лежит в плоскости . Тогда плоскости и перпендикулярны.

Следствие из признака

Если плоскости и пересекаются по прямой , а плоскость перпендикулярна прямой , то плоскость перпендикулярна плоскости и плоскость перпендикулярна плоскости (рис. 4).

Доказательство

Прямая перпендикулярна плоскости по условию, но плоскость проходит через прямую , значит, плоскость перпендикулярна плоскости . Плоскость также проходит через прямую , значит, плоскость перпендикулярна плоскости . Следствие доказано. 

Указанное следствие переформулируем для двугранного угла и для его линейного угла.

Свойство

Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру и граням своего двугранного угла. 

Другими словами, если мы построили линейный угол двугранного угла, то его плоскость перпендикулярна всем элементам этого двугранного угла – и ребру, и граням.

Рассмотрим рисунок 5. Мы имеем плоскость и плоскость . Они пересекаются по прямой . Из точки проводим прямую перпендикулярно ребру в плоскости . Из точки в плоскости проводим вторую прямую перпендикулярно к ребру . Получаем линейный угол двугранного угла – угол . Обозначим плоскость за .

Тогда, плоскость линейного угла  перпендикулярна прямой , так как прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и из плоскости по построению. Также через перпендикуляр к плоскости проходит плоскость , значит, по признаку . Аналогично, .

Задача 2

Найдите двугранный угол тетраэдра , если углы , и прямые, , .

Дано: – тетраэдр.

.

, .

Найти: .

Решение:

Прямая перпендикулярна пересекающимся прямым и из плоскости . Значит, прямая перпендикулярна плоскости .

Тогда - это проекция на плоскость . Проекция перпендикулярна прямой из плоскости по условию, значит, и наклонная перпендикулярна прямой (по теореме о трех перпендиулярах). Получаем, что угол – линейный угол искомого двугранного угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник . Найдем по теореме Пифагора.

Рассмотрим прямоугольный треугольник . Выразим косинус угла .

.

Тогда .

Ответ: .

Итоги урока

Итак, мы повторили теорию и решили некоторые типовые задачи по теме «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей».

На следующем уроке мы перейдем к изучению многогранников.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «ege-study.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Прямоугольник перегнули по диагонали так, что плоскости и оказались перпендикулярными. Найдите расстояние между точками и , если стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

2. Параллельные прямые и лежат в плоскости . Через каждую из этих прямых проведена плоскость, перпендикулярная плоскости . Каково взаимное расположение полученных плоскостей?

3. Сторона прямоугольника служит стороной треугольника , причем точка проектируется на прямую . Укажите линейный угол двугранного угла .

4. Найдите множество точек, принадлежащих одной грани двугранного угла и удаленных от плоскости другой грани на расстояние .