18. Повторение теории и решение задач по теме «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью»

Тема урока

В ходе урока вы сможете самостоятельно изучить тему «Повторение теории и решение задач по теме “Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью”».

Напоминание основных понятий

Рассмотрим плоскость . Точка лежит вне плоскости . Отрезок перпендикулярен плоскости .

Отрезок – перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости . Точка – основание перпендикуляра.

Отрезок – наклонная, – основание наклонной.

Отрезок называется проекцией наклонной на плоскость . (Рис. 1)

Свойство 1. Длина перпендикуляра меньше, чем длина наклонной. То есть, .

Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра . Обозначение: . Точка – проекция точки на плоскость .

Свойство 2.

То есть, если из точки проведены равные наклонные, , то их проекции равны: .  Если проекции равны , то равны и наклонные: .

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. 

Пусть прямая а лежит в плоскости (рис. 2), а точка лежит вне плоскости . Пусть прямая перпендикулярна плоскости , – наклонная к плоскости , – проекция наклонной на плоскость . Тогда:

Заметим, что прямая перпендикулярна плоскости .

Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Рассмотрим плоскость и прямую ,  – перпендикуляр,  – проекция прямой на плоскость (рис. 3). Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией , т. е. угол . Обозначение:

Свойство угла между прямой и плоскостью

Пусть прямая проходит через точку на плоскости и образует с этой плоскостью угол . Угол является наименьшим из всех углов, которые прямая образует с прямыми, проведенными в плоскости через точку .

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным . Прямая перпендикулярна плоскости (рис. 4), тогда .

Задача 1, пункт 1

Прямая перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр вписанной в него окружности.

Докажите, что точка равноудалена:

1. От прямых , , .

2. От всех точек вписанной окружности и от всех касательных к ней.

3. Найдите это расстояние, если известны радиус окружности и длина .

4. Докажите равенство углов наклона прямых (где – любая точка окружности) к плоскости .

5. Найдите тангенс этих углов.

Дано: , – центр вписанной окружности, .

1. Доказать:

Доказательство: см. рис. 5

Пусть , , – это точки касания окружности к сторонам треугольника. , , – радиусы этой окружности. Тогда, по свойству, , , .

– перпендикуляр к плоскости . – проекция наклонной на плоскость . Так как , то (по теореме о трех перпендикулярах). Значит, – это расстояние от точи до прямой , . Аналогично получаем, что , .

Треугольники , , равны по двум катетам (катеты , , равны как радиусы вписанной окружности, катет  – общий). Из равенства треугольников следует, что . А значит, , что и требовалось доказать.

Рассмотрим вспомогательную иллюстрацию (рис. 6) и введем некоторые дополнительные  обозначения.

Имеем окружность с центром в точке и радиусом , , ,  (рис. 6).

Пусть , – две произвольные касательные. , – точки касания касательных , к окружности. Тогда второй пункт задачи можно сформулировать так.

Задача 1, пункт 2

1. Доказать: , .

Касательные ,  касаются окружности в точках , соответственно. Радиус, проведенный в точку касания касательной, перпендикулярен касательной. То есть .

,

– это проекция наклонной на плоскость окружности. Прямая  лежит в этой плоскости. Так как , то по теореме о трех перпендикулярах. Значит, . Аналогично, .

Рассмотрим прямоугольные треугольники и . Катет – общий, как радиусы. Значит, треугольники и равны по двум катетам. Следовательно, , а значит, , , что и требовалось доказать.

Задача 1, пункт 3

1. Найти:

Рассмотри прямоугольный треугольник (рис. 6). Из теоремы Пифагора:

Ответ: .

Задача 1, пункт 4

1. Доказать: .

– проекция наклонной на плоскость . Значит, . Аналогично, . Мы доказали, что треугольники и равны, а значит, и углы и равны. Обозначим, их величину за . Тогда, , что и требовалось доказать.

Задача 1, пункт 5

1. Найти: .

Рассмотри прямоугольный треугольник .

.

Ответ: .

Задача 2, пункт а

Прямая перпендикулярна к плоскости ромба , диагонали которого пересекаются в точке .

а) Докажите, что расстояние от точки до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны.

б) Найдите это расстояние, если , , .

Дано: – ромб, , , , .

а) Доказать: .

Доказательство:

Сделаем вспомогательный рисунок (рис. 8). Также вспомним, что в ромб можно вписать окружность, центр этой окружности – точка пересечения диагоналей ромба. , , , – точки касания вписанной окружности и сторон ромба.

– точка касания стороны к окружности. Тогда . – это проекция наклонной . Значит, по теореме о трех перпендикулярах, . А значит, – это и есть расстояние от точки до прямой , : . Аналогично,  , , .

Рассмотри прямоугольные треугольники , , , . Катет – общий, , так как , , , – радиусы одной окружности. Значит, треугольники , , , равны по двум катетам. Значит, . Получаем, , что и требовалось доказать.

Задача 2, пункт б

Найти: . 

Радиус окружности является высотой в треугольнике . Выпишем, чему равна площадь треугольника .

;

, .

Тогда: .

Рассмотрим прямоугольный треугольник . По теореме Пифагора:

Мы показали, что . Значит, .

Ответ: .

Итоги урока

На этом уроке мы повторили теорию и решили задачи по теме «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью». На следующем уроке мы повторим тему «Двугранный угол».

Список литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «ege-study.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «ege-study.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Точка равноудалена от вершим параллелограмма. Докажите, что этот параллелограмм является прямоугольником.

2. Основания трапеции равняются 14 см и 8 см соответственно. Через большее основание трапеции проведена плоскость, которая находится на расстоянии 8 см от меньшего основания трапеции. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до проведенной плоскости.

3. С точки на плоскость проведены две наклонные длиной 15 см и 20 см. Длина проекции одной из этих наклонных равна 16 см. Найдите синус угла, образованного другой наклонной и плоскостью .

4. Точка находится на одинаковых расстояниях и от сторон прямого угла с вершиной . – проекция точки на плоскость этого угла. Докажите, что – квадрат.