17. Повторение теории и решение задач по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»

Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая а называется перпендикулярной плоскости α, если она перпендикулярна любой прямой т, лежащей в этой плоскости (рис. 1).

, если , где

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

В плоскости α лежат две прямые и , пересекающиеся в точке . Прямая перпендикулярна прямой и прямой (рис. 2). Согласно признаку, прямая перпендикулярна плоскости .

Теорема (о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости)

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перепедикуляная этой плоскости.

Пусть прямая а параллельна прямой . Прямая перепендикулярна плоскости  (рис. 3). Тогда, по теореме, прямая перпендикулярна плоскости .

Теорема (о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости)

Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Пусть прямая перепендикулярна плоскости  и прямая перпендикулярна плоскости  (рис. 3). По теореме, прямая параллельна прямой .

Прямой параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Пусть боковое ребро перпендикулярно основанию (рис. 4). Но прямые , , и – параллельны. Значит, прямые , , и перпендикулярны плоскости .

.

Теорема (о существовании и единственности плоскости, проходящей через точку пространства, перпендикулярно данной прямой)

Через любую точку пространства проходит единственная плоскость , перпендикулярная данной прямой (рис. 5).

Важный частный случай теоремы

Пусть дан отрезок (рис. 6). – середина . Согласно теореме, через точку проходит единственная плоскость , которая перпендикулярна прямой . Тогда плоскость есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка .

Пусть точка лежит в плоскости . Тогда .

Пусть точка равноудалена от концов отрезка , то есть . Тогда точка принадлежит плоскости .

Теорема (о существовании и единственности прямой, проходящей через точку пространства, перпендикулярно данной плоскости)

Через любую точку пространства проходит прямая , перпендикулярная плоскости , и притом только одна (рис. 7).

Важный частный случай теоремы

Дан треугольник . Точка – центр описанной окружности, значит, , – радиус окружности. Проведем перпендикуляр к плоскости . Тогда любая точка перпендикуляра равноудалена от вершин треугольника , то есть .

– перпендикуляр к плоскости , а значит прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в ней. Значит, треугольники , , – прямоугольные. В этих треугольниках катет – общий, а катеты , , – равны. Значит, треугольники , , равны по двум катетам. А значит, , что мы и хотели показать.

Задача 1а

Точка не принадлежит плоскости треугольника (рис. 9). Точка равноудалена от концов отрезка , точка также равноудалена от концов отрезка .

а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.

Дано: , , .

Доказать: .

Доказательство:

Пусть – середина отрезка . Треугольник – равнобедренный, так как . Тогда медиана является и высотой, то есть .

Треугольник – равнобедренный, так как . Тогда медиана является и высотой, то есть .

Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и из плоскости , а значит, прямая перпендикулярна прямой , которая лежит в плоскости , что и требовалось доказать.

Задача 1б

б) Построить общий перпендикуляр к прямым и .

Прямая лежит в плоскости . Прямая пересекает плоскость в точке, не лежащей на прямой . Значит, прямые и скрещиваются.

Проведем перпендикулярно (рис. 10). Но прямая перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой , лежащей в плоскости . Значит, – общий перпендикуляр к прямым и .

Задача 2

Плоскости и пересекаются по прямой (рис. 11). Из точки проведены перпендикуляры и соответственно к плоскостям и . Прямая а пересекает плоскость в точке . Докажите, что . 

Дано: , , , .

Доказать: .

Доказательство:

Прямая перпендикулярна плоскости . Прямая лежит в плоскости . Значит, прямая перпендикулярна прямой .

Прямая перпендикулярна плоскости . Прямая а лежит в плоскости . Значит, прямая перпендикулярна прямой .

Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости . Значит, прямая перпендикулярна плоскости . Прямая лежит в плоскости . Значит, прямая перпендикулярна прямой , что и требовалось доказать.

Итоги урока

Мы повторили теорию и решили типовые задачи по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости». На следующем уроке мы повторим теорию и решим задачи по теме «Перпендикуляр и наклонная, угол между прямой и плоскостью».

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Домашнее задание

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Задания 15, 16, 17 стр. 58.

3. Точки и лежат вне плоскости . Из точек и проведены перпендикуляры и к плоскости , причем прямые и параллельны. Докажите, что – прямоугольник.

4. Через сторону ромба проходит плоскость так, что . Докажите, что – квадрат.

5. Точка лежит вне плоскости равностороннего треугольника , . – центр треугольника . Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).