09. Повторение теории по темам «Теорема о трёх перпендикулярах», «Угол между прямой и плоскостью»

На этом уроке мы повторим теорию по темам «Теорема о трех перпендикулярах» и «Угол между прямой и плоскостью».

Перпендикуляр, наклонная, проекция, расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим плоскость и точку , которая лежит вне этой плоскости (рис. 1). Проведем прямую перпендикулярно плоскости , .

Определение. Отрезок называется перпендикуляром, проведенным из точки к плоскости .

Определение. Пусть точка другая произвольная точка плоскости . Тогда отрезок называется наклонной, а отрезок называется проекцией наклонной на плоскость . 

Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра . .

Расстояние между параллельными плоскостями

Рассмотрим параллельные плоскости и . На плоскости α выберем произвольную точку (рис. 2). Из точки опустим перпендикуляр на плоскость . Перпендикуляр и назовем расстоянием между плоскостями и .

Расстояние между прямой и плоскостью

Расстояние между прямой и плоскостью определяется в случаях, когда прямая параллельна плоскости. Тогда все точки прямой равноудалены от плоскости . Выберем любую точку на прямой , опустим перпендикуляр на плоскость (рис. 3). Длина перпендикуляра и называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью .

.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Пусть прямые и скрещиваются (то есть прямые и не лежат в одной плоскости). Через прямую можно провести единственную плоскость, которая будет параллельна прямой (рис. 4). Точно так же через прямую можно провести единственную плоскость, которая будет параллельна прямой .

Итак, паре скрещивающихся прямых соответствует пара параллельных плоскостей и . Расстояние между скрещивающимися прямыми и равно расстоянию между параллельными плоскостями и .

Проекция фигуры на плоскость

Пусть дана точка , плоскость , перпендикуляр к плоскости , - основание перпендикуляра. Тогда точка – это проекция точки на плоскость . Таким образом, проекция точки – это основание перпендикуляра.

Утверждение о проекции прямой на не перпендикулярную к ней плоскость

Проекцией прямой  на не перпендикулярную к ней плоскость является прямая.

Рассмотрим прямую и не перпендикулярную ей плоскость (рис. 6). На прямой выберем точки и и опустим с них перпендикуляры и на плоскость . Прямая, проходящая через основания перпендикуляров и , назовем ее , и является проекцией прямой на плоскость : .

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. 

Пусть прямая лежит в плоскости , прямая перпендикулярна плоскости , – наклонная к плоскости , – проекция наклонной на плоскость . Проведем прямую  через точку и прямую , параллельно прямой . Тогда:

Обсуждение

Рассмотрим плоскость , в ней лежит прямая , - наклонная, - перпендикуляр, – проекция наклонной (рис. 8). Прямая имеет единственную проекцию на плоскости , но прямая из плоскости α является проекцией не только для наклонной , но и для наклонной .

Пусть плоскость образована наклонной и ее проекцией . Можно заключить, что является проекцией любой прямой, не перпендикулярной к плоскости , которая расположена в плоскости . То есть, плоскость проектируется в прямую .

Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Рассмотрим плоскость и прямую , - перпендикуляр, - проекция прямой на плоскость . Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией , т.е. угол . Обозн.: .

Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным . Прямая параллельна плоскости (рис. 10), тогда .

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она проектируется в точку, угол между прямой и плоскостью считается равным . Прямая перпендикулярна плоскости (рис. 11), тогда .

Свойство угла между прямой и плоскостью

Прямая проходит через точку на плоскости и образует с этой плоскостью угол . Угол является наименьшим из всех углов, которые прямая образует с прямыми, проведенными в плоскости через точку .

Задача 1

Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные.

Докажите, что

а) если наклонные равны, то равны и их проекции;

б) если проекции наклонных равны, то равны и наклонные;

в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.

Пусть дана плоскость , точка . Из точки проведены две наклонные и и перпендикуляр Тогда – это проекция наклонной , – проекция наклонной на плоскость .

а) Дано: .

Доказать: .

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и . Они прямоугольные, так как прямая перпендикулярна плоскости . По условию, , а катет – общий. Тогда треугольники и равны по общему катету и равным гипотенузам. Из равенства треугольников следует равенство катетов и , что и требовалось доказать.

б) Дано: .

Доказать: .

Доказательство:

Снова рассмотрим прямоугольные треугольники и . По условию, , а катет – общий. Тогда треугольники и равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз и , что и требовалось доказать.

Вывод:

в) Дано: .

Доказать: .

Доказательство: Из условий имеем, что . Тогда .

По теореме Пифагора получаем, что , а . Значит, , , что и требовалось доказать.

Задача 2

Один конец данного отрезка лежит в плоскости , а другой находится от нее на расстоянии 6 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости .

Дано: , .

Найти: .

Решение:

Нам дана плоскость . С точки опустим перпендикуляр на плоскость . Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра , значит . Пусть – середина отрезка , т.е. .

Прямая проектируется в прямую . Проведем перпендикуляр к прямой .  Так как прямые и перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.

По теореме Фалеса заключаем, так как отрезки и равны, то параллельные прямые и отсекают равные отрезки на другой стороне угла , то есть .

– это средняя линия треугольника . По свойству средней линии, . .

Ответ: 3 см.

Итоги урока

Итак, мы вспомнили теорию по данным темам. Обсудили важные понятия: расстояние, перпендикуляр, наклонная и другие.

На следующем уроке мы решим задачи по данной теме.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «ege-study.ru‎» (Источник).

2. Интернет-портал «‎ege-study.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 8, 9 стр. 65

2. Стороны треугольника равняются 7 см, 9 см и 14 см. В вершине наибольшего угла построен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 3 см. Найдите расстояния от концов перпендикуляра до середины наибольшей стороны треугольника.

3. Периметр равностороннего треугольника равен 144 см, а расстояния от точки к каждой стороне треугольника 49. Найдите расстояние от точки к плоскости треугольника.

4. Периметр ромба равен 1 м, диагонали ромба относятся, как . В вершине ромба к его плоскости построен перпендикуляр , . Найдите расстояние от точки до стороны ромба, которую этот перпендикуляр не пересекает.