05. Повторение теории. Решение более сложных задач на параллельность прямой и плоскости

Определение параллельных прямых

Определение: две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (рис. 1).

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Пояснение к лемме

Даны две параллельные прямые а и b. Прямая а пересекает плоскость α в точке М. Лемма утверждает, что прямая b тоже пересекает плоскость α в некоторой точке, назовем ее N (рис. 2).

Определение параллельности прямой и плоскости

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Пояснение к признаку.

Дана плоскость α, прямая b лежит в плоскости α, прямая а параллельна прямой b, прямая а не лежит в плоскости α (рис. 3). Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, прямая а параллельна всей плоскости α. Мощь этого признака в том, что только из того, что прямая а не имеет общих точек с прямой b (небольшой частью всей плоскости), следует, что прямая а не имеет общих точек со всей плоскостью.

Следующее утверждение часто используется для решения задач.

Утверждение 1

Утверждение 1

Если плоскость β проходит через данную прямую а, параллельную другой плоскости (а || α), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой: a || b.

Пояснение утверждения

Дана плоскость α и прямая а, которая параллельна плоскости α (рис. 4). Через прямую а проходит плоскость β, которая пересекает плоскость α по некоторой прямой b . Согласно утверждению, линия пересечения плоскостей α и β – прямая b будет параллельна прямой а.

Задача 1

Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку СD, пересекает плоскости данных треугольников.

Доказательство

Нам дано, что точка D не лежит в плоскости АВС, а точка С не лежит в плоскости АВD. Нужно доказать, что любая прямая, назовем ее m, параллельная прямой СD, пересечет плоскости АВС и АВD.

Вспомним лемму, если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Прямая СD пересекает плоскость АВС в точке С. Значит, и параллельная ей прямая m пересечет эту плоскость в некоторой точке N (по лемме):

Прямая СD пересекает плоскость ABD в точке D. Значит, и параллельная ей прямая m пересечет эту плоскость в некоторой точке M (по лемме):

Задача 2

Точки А и В лежат в плоскости α, а точка С не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АС и ВС, параллельна плоскости α.

Доказательство

Пусть M – середина АС, N- середина ВС.

Точка М не лежит в плоскости α, так как если бы она в ней лежала, то и прямая АМ, а значит и точка С, лежала бы в плоскости α, что противоречит условию. Аналогично, точка N не лежит в плоскости α.

Рассмотрим треугольник АВС. MN – средняя линия в этом треугольнике. По свойству, MN параллельна АВ. Прямая MN параллельна прямой АВ, а прямая АВ лежит в плоскости α. Значит, прямая АВ параллельна плоскости α, что и требовалось доказать.

Задача 3

Плоскость α параллельна стороне ВС треугольника АВС и проходит через середину стороны АВ. Докажите, что плоскость α проходит через середину стороны АС.

Доказательство

Нам даны две плоскости АВС и α. Они не совпадают, имеют общую точку M, а значит, имеют линию пересечения MN. Докажем, что N – середина АС.

Плоскость АВС проходит через прямую ВС, которая по условию параллельна плоскости α. Значит, ВС параллельна линии пересечения плоскостей MN.

Параллельные прямые MN и BС рассекают стороны угла А на пропорциональные части, то есть АМ : МВ = АN : NС = 1. Значит, N – середина стороны АС, что и требовалось доказать.

Итоги урока

Итак, мы повторили теорию и рассмотрели решение более сложных задач по теме: «Параллельность прямой и плоскости». На следующем уроке мы рассмотрим взаимное расположение прямых в пространстве.

Список литературы

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2.  Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «‎ege-study.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Дана трапеция ABCD, АВ и СD – основания трапеции. Через сторону АВ проведена плоскость, причем сторона СD не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая СD параллельна плоскости α.

2. Через середину стороны АВ параллелограмма ABCD проведена плоскость α, параллельная стороне ВС. Докажите, что эта плоскость проходит через середину стороны СD.

3. Дана трапеция ABCD, АВ и СD – основания трапеции. Средняя линия трапеции пересекается с плоскостью α. Докажите, что прямые АВ и СD также пересекаются с плоскостью α.

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

5. Задания 11, 12 стр. 26