08. Повторение теории, решение задач по теме

Повторение

Определение: две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема (признак скрещивающихся прямых): если прямая AB принадлежит плоскости α, а прямая CD пересекает плоскость α в точке M, не принадлежащей AB, то прямые AB и CD скрещиваются (Рис. 1).

Заметим, что через точку M можно провести много прямых, пересекающих плоскость α. Например, проведем прямую C₁D₁ (Рис. 2). Она также будет скрещиваться с прямой AB.

Типовые конструкции со скрещивающимися прямыми

1) Рассмотрим параллелограмм ABCD. Прямые AC и BD пересекаются в точке O. Сдвинем прямую BD на вектор, который не лежит в плоскости ABС. Получаем прямую B₁D₁, назовем эту прямую m (Рис. 3). Прямые m и AС – скрещивающиеся. Почему? Через две параллельные прямые m и BD проходит плоскость, назовем ее α. Прямая m лежит в плоскости α, а прямая AС пересекает плоскость α в точке, не лежащей на прямой m. По признаку, прямые m и AС – скрещивающиеся.

2) Рассмотрим плоскость ABСВ. В этой плоскости прямые AС и BD пересекаются в точке O. Осуществим поворот прямой AС на угол, вне плоскости ABC. Получаем прямую AP (Рис. 4). Тогда прямые AP и BD скрещиваются. Докажем это. Прямая AP пересекается с прямой AC в точке A. Значит, через них проходит единственная плоскость, назовем ее α . Прямая BD лежит в плоскости ABC, а прямая AP пересекает эту плоскость в точке A, не лежащей на прямой BD. Значит, согласно признаку, прямые BD и AP скрещиваются.

Три случая расположения прямых в пространстве

1) Прямые a и b пересекаются в некоторой точке C:(Рис. 5). Как мы знаем, через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

2) Прямые a и b параллельны: a || b (Рис. 6). Если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3) Прямые a и b скрещиваются (Рис. 7). То есть прямые a и b не лежат в одной плоскости.

Заметим, что и в первом, и во втором случае прямые лежали в одной плоскости, а в третьем – нет.

Теорема о скрещивающихся прямых

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Пояснение

Пусть нам даны две скрещивающиеся прямые a и b (Рис. 8). Через прямую a проходит единственная плоскость α, параллельная прямой b. Аналогично через прямую b проходит единственная плоскость, параллельная прямой a.

Задачи

Задача 1 

Через точку, не лежащую на прямой a, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой a. Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая a являются скрещивающимися прямыми (Рис. 9).

Решение

1) Так как b не имеет общих точек с a (по условию), то она либо скрещивается с a, либо b || a.

2) Пусть b || a, тогда вторая прямая c пересекает плоскостьв точке M, не лежащей на a, и поэтому скрещивается с a (Рис. 10).

3) Пусть, тогда b скрещивается с a по той же причине, что и в пункте 2 (Рис. 11).

Вывод: по крайней мере одна из прямых (b или c) скрещивается с a.

Задача 2

Прямая c пересекает прямую a и не пересекает прямую b, параллельную прямой a. Докажите, что b и c скрещивающиеся прямые (Рис. 12).

Доказательство

Вспомним, что две параллельные прямые задают плоскость. Назовем ее β (Рис. 13).

Через пересекающиеся прямые тоже проходит плоскость. Назовем ее a (Рис. 14).

Тогда

1) ,

2) прямая c пересекает β в точке M не лежащей на b; значит, b и c скрещиваются (по признаку скрещивающихся прямых).

Ч.т.д.

Задача 3

Основание AB трапеции ABCD параллельно плоскости α, а вершина C лежит в этой плоскости (Рис. 15). Докажите, что:

А) основание CD трапеции лежит в плоскости α,

Б) средняя линия трапеции праллельна плоскости α.

Доказательство

1) Имеем AB ||CD (основания трапеции) и AB || α. Так как вершина, то прямая CD лежит в плоскости α.

Если бы, то и AB пересекала бы плоскость α, а это противоречит условию. Следовательно, .

2)

 или. Но если, то (по аксиоме 2), а это противоречит условию AB || α. Следовательно, MN || α.

Ч.т.д.

Задача 4

Через вершину A ромба ABCD проведена прямая a, параллельная диагонали BD, а через вершину C – прямая b, не лежащая в плоскости ромба (Рис. 16). Докажите, что:

1) прямые a и CD пересекаются,

2) a и b – скрещивающиеся прямые.

Доказательство

1) Через точку D проходит только одна прямая BD || α, поэтому(Рис. 17).

Или a пересекает AB, а значит, и пересекает параллельную ей прямую DC.

2) Точка(точка C и прямая a лежат по разные стороны от прямой BD). Прямая b пересекает плоскость ABC в точкеЗначит, a и b скрещиваются (по признаку скрещивающихся прямых).

Ч.т.д.

Задача 5

На скрещивающихся прямых a и b отмечены соответственно точки M и N. Через прямую a и точку N проведена плоскость α, а через прямую b и точку M – плоскость β.

А) Лежит ли прямая b в плоскости α?

Б) Пересекаются ли плоскости α и β? При положительном ответе укажите прямую, по которой они пересекаются (Рис. 18).

Решение

А) Скрещивающиеся прямые a и b не могут лежать в одной плоскости α (это противоречит определению скрещивающихся прямых).

Ответ: нет.

Б),

.

Ответ: пересекаются по прямой MN.

Задача 6

Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой? Ответ обоснуйте.

Доказательство

Пусть a и b скрещивающиеся прямые, и для них найдется такая прямая c, что

 (по лемме). Получили противоречие (Рис. 19).

Ответ: нет.

Заключение

Итак, мы повторили теорию касательно прямых и решили ряд задач на скрещивающиеся прямые.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10–11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / Смирнова И.М., Смирнов В.А. М.: Мнемозина, 2008.

2. Геометрия. 10–11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И.Ф. М.: Дрофа, 1999.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики / Потоскуев Е.В., Звалич Л.И. М.: Дрофа, 2008.

Домашнее задание

1. Какие прямые называются скрещивающимися? Как найти угол между ними?

2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что прямые скрещивающиеся:
   а) CB и A₁B₁,
   б) AB и CC₁.

3. В плоскости лежит треугольник ABC, a точка D не находится в этой плоскости. Точки M, N и K соответственно середины отрезков DA, DB и DC. Определите взаимное расположение данных прямых (Рис. 1).