16. Повторение теории. Решение более сложных задач по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

Тема урока

На этом уроке мы повторим основные положения теории и решим более сложные задачи по теме «Параллельность прямых и плоскостей».

Определения параллельности прямой и плоскости

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Пусть дана прямая и плоскость  (рис. 1). В плоскости  лежит прямая , которая параллельна прямой . Из параллельности прямых и вытекает параллельность прямой и плоскости .

Определение параллельных плоскостей

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Пусть даны плоскости  и  (рис. 2). В плоскости  лежат пересекающиеся прямые и . В плоскости  проведена прямая , параллельная прямой , и прямая , параллельная прямой . По признаку, плоскости  и  параллельны.

Определение скрещивающихся прямых

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на этой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Прямая лежит в плоскости . Прямая пересекает плоскость  в точке , которая не лежит на прямой (рис. 3). Признак утверждает, что прямые и – скрещивающиеся.

  и – скрещивающиеся прямые.

Теорема

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Прямые и скрещиваются (рис. 4). По теореме, через прямую проходит единственная плоскость, параллельная прямой .

Пусть имеем две скрещивающиеся прямые и (рис. 5). Через прямую , как мы знаем, можно провести единственную плоскость , которая будет параллельна прямой . Но и через прямую можно провести единственную плоскость , которая будет параллельна прямой .

Значит, двум скрещивающимся прямым и соответствует единственная пара параллельных плоскостей и , каждая из которых проходит через одну из этих прямых. 

Задача 1

Докажите, что через точку , не лежащую в плоскости , проходит плоскость, параллельная плоскости , и притом только одна.

Дано: .

Доказать: существует единственная плоскость {, }.

Доказательство:

1) В плоскости проведем две пересекающиеся прямые и , .

2) Через точку проведем прямую , .

3) Через две пересекающиеся прямые и  проходит единственная плоскость (рис. 6). Эта плоскость – искомая, так как она проходит через точку и она параллельна плоскости по признаку параллельности двух плоскостей.

4) Любая другая плоскость , которая проходит через точку параллельно , обязательно пересечет плоскость  (рис. 7), а значит, и параллельную ей плоскость , что невозможно. Итак, утверждение доказано.

Опорный факт

Пусть мы имеем две скрещивающиеся прямые и . Мы знаем, что через них можно провести пару параллельных плоскостей и .

Возьмем любую прямую , , . На прямой возьмем любую точку , которая не лежит в плоскости и (рис. 8). Через две скрещивающиеся прямые и и точку проходит единственная тройка параллельных плоскостей .

Почему это можно сделать? Почему такую тройку можно провести?

Во-первых, плоскости и  мы уже провели, а только что мы доказали, что через точку можно провести единственную плоскость , параллельную плоскости , а значит, и плоскости .

Итак, двум скрещивающимся прямым и точке соответствует единственная тройка параллельных плоскостей.

Задача 2

Докажите, что в сечении тетраэдра плоскостью параллельной противолежащим ребрам и , лежит параллелограмм. 

Доказательство:

Прямая лежит в плоскости . Прямая пересекает эту плоскость в точке , которая не лежит на прямой . Прямые и скрещиваются по признаку скрещивающихся прямых.

Скрещивающимся прямым и соответствует пара параллельных плоскостей и , ,  (рис. 9).

Пусть точка принадлежит прямой и плоскость  – это секущая плоскость.

Через скрещивающиеся прямые и и точку проведем тройку параллельных плоскостей , , .

Тогда параллельные плоскости  и  рассекают плоскость по параллельным прямым. Значит, . Параллельные плоскости  и  также рассекают плоскость по параллельным прямым. Значит, .

Делаем вывод: , потому что каждая из них параллельна .

Аналогично доказываем, что ; , а значит, .

В сечении имеем четырехугольник , противоположные стороны которого попарно параллельны. Значит, в четырехугольник - параллелограмм.

Заметим, что угол между прямыми и равен углу между скрещивающимися прямыми и .

Задача 3

Дан тетраэдр, все ребра которого равны. Докажите, что периметры фигур, которые получаются при пересечении этого тетраэдра плоскостями, параллельными двум противоположным ребрам, равны.

Решение.

Предположим, что мы имеем скрещивающиеся ребра и , и точку ,  (рис. 10). Через точку проведем плоскость, параллельную этим двум скрещивающимся прямым. Только что мы доказали, что в сечении получим параллелограмм.

Пусть и – длины сторон этого параллелограмма.

Пусть длина ребра тетраэдра равна .

Заметим, что треугольник и все остальные треугольники, лежащие в гранях тетраэдра, правильные, потому что все ребра равны . Тогда все углы этих треугольников равны .

Так как , то треугольник тоже правильный. , значит, , , значит .

Найдем сумму .

Найдем периметр сечения: .

Заметим, что периметр сечения не зависит от выбора точки на ребре .

Итоги урока

Итак, мы повторили теорию и решили более сложные задачи по теме параллельность прямых и параллельность плоскостей. На следующем уроке мы перейдем к изучению перпендикулярности прямой и плоскости.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «ege-study.ru‎» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 9, 10 стр. 23

2. Три прямые попарно пересекаются. Может ли какая-нибудь плоскость быть параллельной всем этим прямым?

3. Через точку можно провести только лишь одну прямую, параллельную плоскостям и . Параллельны ли эти плоскости?

4. Две трапеции имеют общую среднюю линию. Плоскость проходит через меньшие основания трапеций, а плоскость проходит через большие основания трапеций. Параллельны ли плоскости и ?

5. – четырехугольник. Точка лежит вне его плоскости. Лежат ли в одной плоскости середины отрезков , , , ?