03. Повторение теории. Решение простейших задач на параллельность прямой и плоскости

Определение параллельных прямых

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).

Теорема о параллельных прямых

Теорема о параллельных прямых.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Пояснение к теореме

Дана прямая а, и точка М, не лежащая на ней:(Рис. 2.). Тогда через точку М проходит только одна прямая b, которая параллельная прямой а.

Лемма

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Пояснение к лемме

Даны две параллельные прямые а и b. Прямая а пересекает плоскостьв точке М. Лемма утверждает, что прямая b тоже пересекает плоскостьв некоторой точке, назовем ее N (Рис. 3.).

Теорема о трех параллельных прямых

Теорема о параллельности трех прямых.

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Пояснение к теореме.

Даны три прямые а, b, с, такие, что а параллельна с и b параллельна с (Рис. 4.). Теорема утверждает, что прямая а параллельна прямой b.

Случаи взаимного расположения прямой и плоскости

Аксиома А2: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости

Из аксиомы А2 вытекают три случая взаимного расположения прямой и плоскости.

1) Прямая а целиком лежит в плоскости α:(Рис. 5.).

2) Прямая а имеет одну общую точку с плоскостью α:. Другими словами, прямая а и плоскость α пересекаются (Рис. 6.).

3) Прямая a не имеет общих точек с плоскостью:(Рис. 7.).

Определение параллельности прямой и плоскости

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Пояснение к признаку.

Дана плоскость, прямая а, которая параллельна прямой b, лежащей в плоскости(Рис. 8.). Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, этого достаточно, чтобы прямая а была параллельна всей плоскости.

Утверждение 1

Из данного признака вытекает два утверждения, полезных для решения задач. 

Утверждение 1

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Пояснение утверждения

Дана плоскостьи прямая а, которая параллельна плоскости(Рис. 9.). Через прямую а можно провести много плоскостей, которые пересекают плоскостьПроведем через прямую а плоскостьСогласно утверждению, линия пересечения плоскостейи– прямая b будет параллельна прямой а.

Утверждение 2

Утверждение 2

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Пояснение утверждения

Есть две параллельные прямые а и b и плоскостьОдна из параллельных прямых, например, прямая а, параллельна плоскостиОтсюда следует, согласно утверждению, что прямая b либо параллельна плоскости(Рис. 10.), либо лежит в плоскости(Рис. 11.).

Задача 1

Параллельные прямые а и b лежат в плоскостиДокажите, что прямая с, пересекающая прямые а и b, также лежит в плоскости

Дано:

Доказать:

Доказательство: (Рис. 12.)

Точка А прямой с, принадлежит и прямой а, а значит, и плоскости. Точка В прямой с принадлежит прямой b, а значит, и плоскости. Так как две точки прямой с принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит в плоскости, в силу аксиомы А2.

Задача 2

Стороны AB и BC параллелограмма ABCD пересекают плоскостьДокажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость

Дано: ABCD – параллелограмм,

Доказать: прямые AD и DC пересекают плоскость

Доказательство: (Рис. 13.)

Обозначим плоскость АВС какТогда плоскостиипересекаются по прямой MN. Прямая АВ пересекается с плоскостью, и прямые АВ и CD параллельны (как стороны параллелограмма). Тогда, согласно лемме, прямая CD также пересекается с плоскостьюАналогично, прямая ВCпересекается с плоскостью, и прямые ВС и АD параллельны (как стороны параллелограмма). Тогда, согласно лемме, прямая АD также пересекается с плоскостью, что и требовалось доказать.

Давайте найдем эти точки пересечения. Пусть прямая CD пересекается с плоскостьюв точке Q, а прямая АD пересекается с плоскостьюв точке F.

Плоскостиипересекаются по прямой MN, значит все их общие точки лежат на этой прямой. Продолжим прямые CD и  АD до их пересечения с прямой MNи получим соответственно точки Q и F (Рис. 14.).

Задача 3

Средняя линия трапеции лежит в плоскости, не совпадающей с плоскостьюПересекаются ли прямые, содержащие основания трапеции, с плоскостью?

Дано: ABCD – трапеция, MN – средняя линия.

Найти: пересекаются ли прямые AD и ВC плоскость

Решение: (Рис. 15.)

Вспомним, что средняя линия трапеции параллельна ее основанием. Значит, прямые AD и MN параллельны, а прямая MN принадлежит плоскостиЗначит, по признаку параллельности прямой и плоскости, AD параллельна плоскостиАналогично, прямые ВC и MN параллельны, а прямая MN принадлежит плоскостиЗначит, по признаку параллельности прямой и плоскости, ВC параллельна плоскости

Ответ задачи: нет, не пересекаются.

Задача 4

Точка D не лежит плоскости прямоугольника KLMN. Доказать, что

Дано: KLMN – прямоугольник,

Доказать:

Доказательство: (Рис. 16.)

Прямые KL и MN параллельны, а прямая KL принадлежит плоскости DKL. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, MN параллельна плоскости DKL, что и требовалось доказать.

Итоги урока

Итак, мы рассмотрели теорию о параллельности прямой и плоскости, применили эту теорию к решению задач. Далее эта теория будет использована при рассмотрении вопроса о параллельности плоскостей.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «ege-study.ru‎» (Источник).

2. Интернет-портал «urok.1sept.ru‎» (Источник).

3. Интернет-портал «‎fizma.net» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Прямая а не параллельна плоскости β. Существуют ли в плоскости β прямые, не параллельные прямой а?

2. Плоскость β пересекает отрезки АВ и АС в их серединах. Докажите, что прямая ВС параллельна плоскости β.

3. Плоскость β пересекает отрезки АВ и АС в их серединах – точках К и Р. Как относятся площади треугольников АВС и АКР?

4. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

Задания 9, 10 стр. 26