15. Повторение теории. Решение задач по теме «Параллельность прямых и плоскостей»

Тема урока

На этом уроке мы повторим теорию и решим несколько задач на тему «Параллельность прямых и плоскостей».

Три случая взаимного расположения прямой и плоскости

1) Прямая а целиком лежит в плоскости α: (рис. 1).

2) Прямая а имеет одну общую точку с плоскостью α:. Другими словами, прямая а и плоскость α пересекаются (рис. 2).

3) Прямая a не имеет общих точек с плоскостью α: (рис. 3).

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Пусть дана прямая а и плоскость α (рис. 4). В плоскости α лежит прямая b, которая параллельна прямой а. Из параллельности прямых а и b вытекает параллельность прямой а и плоскости α.

Утверждение 1

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Пусть дана прямая а, параллельная плоскости α (рис. 5). Через прямую а проходит плоскость β. Плоскость α и β пересекаются по прямой b. Значит, прямые а и b параллельны.

Утверждение 2

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Прямая а параллельна плоскости α. Прямые а и b параллельны. Значит, прямая b либо параллельна плоскости α (рис. 6), либо лежит в плоскости α (рис. 7).

Три случая взаимного расположения прямых в пространстве

1) Прямые a и b пересекаются в некоторой точке С:(рис. 8). Как мы знаем, через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

2) Прямые a и b параллельны: (рис. 9). Если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3) Прямые a и b скрещиваются (рис. 10). То есть прямые a и b не лежат в одной плоскости.

Определение скрещивающихся прямых

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на этой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Прямая а лежит в плоскости α. Прямая b пересекает плоскость α в точке С, которая не лежит на прямой а (рис. 11). Признак утверждает, что прямые а и b – скрещивающиеся.

а и b – скрещивающиеся прямые.

Теорема

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Прямые а и b скрещиваются (рис. 12). По теореме, через прямую а проходит единственная плоскость, параллельная прямой b. А через прямую b проходит единственная плоскость, параллельная прямой а.

Угол между прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми

Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Выберем произвольную точку О. Через точку О проведем прямую а1, параллельную прямой а, и прямую b1, параллельную прямой b (рис. 13). Прямые а1 и b1 пересекаются в точке О. Угол между пересекающимися прямыми а1 и b1, угол φ, и называется углом между скрещивающимися прямыми а и b.

Точку можно взять любую. Например, возьмем точку О₁ (рис. 14). Угол будет тот же в силу теоремы об углах с сонаправленными сторонами.

Угол между пересекающимися прямыми

Углом между пересекающимися прямыми, называется наименьший из углов между ними.

Определение параллельных плоскостей

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Пусть даны плоскости α и β (рис. 15). В плоскости α лежат пересекающиеся прямые а и b. В плоскости β проведена прямая а’, параллельная прямой а, и прямая b’, параллельная прямой b. По признаку, плоскости α и β параллельны.

Свойства параллельных плоскостей

Свойство 1.

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Пусть даны параллельные плоскости α и β и плоскость γ, которая пересекает плоскости α и β по прямым а и b соответственно (рис. 16). Значит, по свойству, прямые а и b параллельны.

Свойство 2. 

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Пусть даны параллельные плоскости α и β и параллельные прямые m и n, которые пересекают эти плоскости (рис. 17). Отрезки АВ и СD прямых m и n соответственно, которые заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Свойство 3.

Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Для наглядности параллельные плоскости α, β, γ спроектируем на плоскость экрана в виде прямых линий (рис. 18) Отметим на рисунке длины отрезков -  а, b, а₁, b₁.

Из точки О проведем прямую, параллельную второму отрезку. Получаем теорему Фалеса:

. То есть, параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Задача 1

Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках А₁, В₁ и С₁, а другую в точках А₂, В₂, С₂ (рис. 19). Докажите, что треугольники А₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

Доказательство

Пусть данные три прямые пересекаются в точке S.

По свойству 1, если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Плоскости А₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ параллельны и пересечены плоскостью SА₁B₁. Значит, линии пересечения А₁B₁ иА₂В₂ параллельны. Аналогично, плоскость SВ₁С₁ рассекает плоскости  А₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ по параллельным прямым В₁С₁ и В₂С₂. А плоскость SА₁С₁ рассекает плоскости  А₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ по параллельным прямым А₁С₁ и А₂С₂.

1 способ.

Углы А и А­­₁ равны как углы с сонаправленными сторонами. Углы С и С₁­ также равны как углы с сонаправленными сторонами. Значит, треугольники А₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны по двум углам.

2 способ.

Треугольники SА₁B₁ ­и SА₂B₂ подобны, так как прямые А₁B₁ и А₂В₂ параллельны. Треугольники SС₁B₁ ­и SС2B2 подобны, так как прямые С₁B₁ иС₂В₂ параллельны. Треугольники SА₁С₁ ­и SА₂С₂ подобны, так как прямые А₁С₁ иА2С2 параллельны. Из подобия следует:

Из пропорциональности трех сторон вытекает подобие треугольников SА₁B₁ ­и SА₂B₂.

Задача 2

Параллельные отрезки А₁А₂, В₁B₂, C₁C₂ заключены между параллельными плоскостями α и β (рис. 20)

а) Определите вид четырехугольника А₁В₁В₂А₂, С₁В₁В₂С₂, А₁С₁С₂А₂.

б) Докажите, что треугольники А₁B₁C₁и A₂B₂C₂ равны.

Решение

а) Прямые А₁А2, В₁B₂ параллельны по условию. А₁А₂ = В₁B₂ по свойству 2 параллельных плоскостей. В четырехугольнике А₁В₁В₂А₂ противоположные стороны параллельны и равны, значит, А₁В₁В₂А₂ – параллелограмм. Аналогично доказывается, что четырехугольники С₁В₁В₂С₂, А₁С₁С₂А₂ – параллелограммы.

б) А₁В₁ = А2В2, B₁C₁ = B₂C₂, А₁C₁ = A₂C₂ (как противоположные стороны параллелограммов). Значит, треугольники А₁B₁C₁ и A₂B₂C₂  равны по трем сторонам.

Задача 3

Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трех ребер, имеющих общую вершину.

Доказательство

Пусть АВ = x, AC₁ = d, AA₁ = z, AD = y. Из любой вершины исходят три ребра, сумма длин которых равна x + y + z. Воспользуемся неравенством треугольника. Рассмотрим треугольник АСС₁. АС₁ < AC + CC₁, d < z + AC. Из треугольника АВС имеем: АС < AB + BC = AB + AD= x + y. Значит, d < z + x + y, что и требовалось доказать.

Итоги урока

Итак, мы повторили теорию о параллельности прямых и плоскостей и решили серию задач на эту тему.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «ege-study.ru‎» (Источник).

2. Интернет-портал «‎fizma.net» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 7, 8 стр. 23                                 

2. Назовите случаи взаимного расположения:

а) прямой и плоскости

б) двух прямых.

3. Луч АВ пересекает параллельные плоскости α и β в точках M1 и М2, а луч АС - в точках Р1 и Р2 соответственно. Найдите длину отрезка АМ2, если АМ1 = 4 см, а М1 Р1 : М2 Р2 = 1 : 3.

4. Докажите, что если плоскость пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

5. Могут ли иметь равные длины два непараллельных отрезка, концы которых принадлежат различным параллельным плоскостям?