09. Практика. Тела вращения. Базовый уровень

Цилиндр

На этом уроке мы будем решать задачи по теме «тела вращения».

Задача 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна . Угол между диагональю и образующей цилиндра равен . Найти площадь поверхности и объем цилиндра (см. рис. 1).

Решение.

Осевое сечение цилиндра – это прямоугольник. Мы знаем его диагональ и угол, который она образует с одной из сторон. Найдем стороны прямоугольника:

Радиус цилиндра, он же радиус основания, равен половине , т. е.:

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности в основании на высоту цилиндра:

Площадь основания – это площадь круга:

Найдем площадь полной поверхности как сумму боковой и двух площадей оснований:

Объем цилиндра найдем как произведение площади основания на высоту:

Ответ: ; .

Задача 2. Один цилиндр получен вращением прямоугольника вокруг стороны , а второй, вокруг стороны . Найти отношение боковых поверхностей и объемов цилиндров (см. рис. 2).

Решение.

Высота первого цилиндра  и радиус , высота второго  и радиус . Найдем площади их боковых поверхностей:

Таким образом, их боковые поверхности равны. Их отношение:

Найдем их объемы:

Оказалось, объемы таких цилиндров не равны друг другу. Их отношение:

Ответ: ; .

Конус

Решим несколько задач, в которых фигурирует конус.

Задача 3. Объем конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найти объем усеченного конуса, отсекаемого от данного конуса проведенной плоскостью (см. рис. 3).

Решение.

Проведем два рассуждения, которые оба приведут к одному результату.

1. Объем исходного конуса вычисляется по формуле:

У верхнего конуса высота и радиус в два раза меньше, чем у исходного:

Тогда объем усеченного конуса равен разности объемов большого и верхнего конусов:

2. Если у конусов подобны осевые сечения (треугольники), то эти конусы тоже подобны (интуитивно это понятно, но строго мы доказывать не будем). Отношение объемов подобных конусов равно кубу их коэффициента подобия :

Т. к. высоты конусов относятся, как:

То, значит, объем верхнего конуса равен:

Объем усеченного конуса опять находим как их разность:

Ответ: .

Задача 4. Высота конуса равна . Сечение проходит через вершину конуса и хорду основания, стягивающей дугу в . Плоскость сечения наклонена к плоскости основания под углом . Найти площадь сечения (см. рис. 4).

Решение.

Т. к. плоскость сечения наклонена к основанию под углом , то  ( перпендикулярна как высота равнобедренного треугольника, перпендикулярна , как высота равнобедренного треугольника , а, значит,  – линейный угол двугранного угла между плоскостями). Тогда прямоугольный треугольник  является равнобедренным, значит:

Т. к. дуга  равна , то угол  (как центральный). Следовательно, треугольник  не только равнобедренный, но и равносторонний. В равностороннем треугольнике мы знаем высоту. Найдем его сторону:

Найдем площадь сечения:

Ответ: .

Задача 5. Отношение площадей боковой и полной поверхностей конуса равно . Найти угол между образующей и основанием (см. рис. 5).

Решение.

Запишем отношение:

Отсюда:

Но:

Тогда:

Ответ: .

Сфера

Рассмотрим решение задач со сферой.

Задача 6. Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса . Угол между секущей плоскостью и диаметром равен . Найти длину окружности сечения (см. рис. 6).

Решение.

В сечении сферы любой плоскостью получается окружность. Так что, в самом деле, наше сечение – окружность. Рассмотрим треугольник . Две его стороны равны радиусу сферы, т. е. он равнобедренный. Проведем высоту . Она является медианой. Найдем :

Но  – это радиус сечения. Найдем длину окружности сечения:

Ответ: .

Задача 7. Доказать, что площадь полной поверхности цилиндра, полученного при вращении квадрата вокруг стороны, равна площади сферы, радиус которой равен стороне квадрата (см. рис. 7).

Решение.

Найдем площадь поверхности цилиндра:

Площадь сферы вычисляется по формуле:

Т. е. в нашем случае:

Площади в самом деле оказались равными.

Доказано.

Задача 8. Два равных шара расположены так, что центр одного находится на поверхности другого. Найти отношение объема общей части шаров к объему одного шара (см. рис. 8).

Решение.

Изобразим сечение шаров плоскостью, проходящей через их центры (см. рис. 9). Общая часть представляет собой два шаровых сегмента.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:

Высота каждого сегмента равна половине радиуса шара:

Выразим объем общей части, как объем двух таких сегментов:

Объем шара выражается формулой:

Найдем отношение объемов:

Ответ: .

Список рекомендованной литературы

1. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачева М. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

2. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.

3. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Ин­тер­нет-пор­тал «mnogogranniki.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Площади боковой и полной поверхностей цилиндра относятся как . Найти угол между диагоналями осевого сечения цилиндра.

2. Площади оснований усеченного конуса равны 4 и 16. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Найти площадь сечения.

3. Нужно отлить свинцовый шар диаметром 3 см. Имеются свинцовые шарики диаметром 5 мм. Сколько таких шариков надо взять?