04. Практика. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Базовый уровень

Задачи на параллельность

 Если плоскость  пересекает плоскость  по прямой , то эту прямую называют следом, который оставляет плоскость  на плоскости  (см. рис. 1).

Задача 1. Доказать теорему «о следе»: если плоскость  проходит через прямую , параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой ,  то  (см. рис. 2).

Доказательство

Действительно, прямые  и  не являются скрещивающимися, так как они лежат в плоскости . Кроме того, эти прямые не имеют общих точек, так как .

Следовательно, .

Доказано.

Задача 2. Две плоскости  и  пересекаются. Прямая  параллельна обеим плоскостям. Доказать, что она параллельна прямой, по которой пересекаются плоскости, т. е. следу одной плоскости на другой (см. рис. 3).

Доказательство

Пусть плоскости пересекаются по прямой . Мы пока не уверены, что . Проведем тогда через точку  прямую  (опять-таки, мы пока не уверены, что это одна и та же прямая) (см. рис. 4).

Подумаем, обязана ли прямая  лежать в плоскости . Если нет, то она пересекает . Но тогда ей параллельная прямая  тоже пересекает  – мы доказывали лемму о параллельных (если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то вторая тоже).

Но  по условию, значит, такого не может быть, следовательно,  лежит в плоскости . Аналогично  лежит в плоскости . Но тогда это прямая пересечения двух плоскостей, т. е. . Следовательно, .

Доказано.

Задача 3. Определить тип четырехугольника, образованного серединами сторон неплоского четырехугольника.

Решение

Неплоский четырехугольник отличается от плоского тем, что 4 его вершины не лежат в одной плоскости (то есть, если провести через любые три вершины такого четырехугольника плоскость, то четвертая вершина не будет этой плоскости принадлежать) (см. рис. 5). Его легко себе представить как бумажный четырехугольник, который согнули по одной диагонали.

Итак, у нас неплоский четырехугольник . Отметим середины его сторон и соединим. Изучим полученный четырехугольник  (см. рис. 6).

В исходном четырехугольнике проведем диагональ . Она разбивает четырехугольник на два треугольника, которые являются уже плоскими фигурами, так как любые три точки лежат в одной плоскости (см. рис. 7).

 – средняя линия треугольника ,  – треугольника . Поэтому оба этих отрезка параллельны .

Две прямые в пространстве, параллельные третьей, параллельны друг другу.

Итак, . Но две параллельные прямые задают плоскость. Это значит, что все точки ,,, лежат в одной плоскости, т. е. четырехугольник  плоский.

Более того, у этого плоского четырехугольника две противоположные стороны параллельны. Можно провести вторую диагональ большого четырехугольника и, повторяя рассуждения, показать, что и вторая пара сторон тоже параллельна, т. е. перед нами параллелограмм.

А можно сразу сослаться на свойство средней линии треугольника:  и  не только параллельны , но и равны ее половине, следовательно, равны другу. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм (это его признак).

Если бы исходный четырехугольник был плоским, то результат был точно таким же.

Попутно мы с вами получили, что не существует такой фигуры, как неплоский параллелограмм.

Ответ: параллелограмм.

Задача 4. Пусть ,,, – четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Доказать, что прямая  параллельна плоскости, проходящей через середины отрезков , и  (см. рис. 8).

Доказательство

Итак, мы рассматриваем три отрезка с общим концом . Они образуют трехгранный угол.

Через середины трех ребер проходит плоскость . А через точки  и  – прямая  (см. рис. 9).

Тогда  – средняя линия треугольника , значит, . Кроме того, прямая  не лежит в плоскости . Если предположить обратное, то все четыре исходные точки будут лежать в этой плоскости, что противоречит условию.

Таким образом,  не лежит в плоскости  и параллельна прямой из этой плоскости.

Следовательно, прямая  параллельна плоскости  по признаку параллельности прямой и плоскости.

Доказано.

Задача 5. Прямая  параллельна диагонали  ромба  и не лежит в плоскости ромба (см. рис. 10). Доказать:

1.  и  скрещиваются; найти угол между ними.

2.  и  скрещиваются; найти угол между ними, если .

Решение

1. Как мы уже разобрались, ромб, как частный случай параллелограмма, – это обязательно плоская фигура. Прямая  не лежит в плоскости ромба и параллельна диагонали . Следовательно, она параллельна плоскости ромба.

Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.

Прямая  не может пересекать , иначе она пересечет и саму плоскость ромба, которой параллельна.

Прямая  не может быть параллельной , иначе обе диагонали ромба оказались бы параллельной , значит, и друг и другу, что, конечно, невозможно.

Остается один вариант –  и  скрещиваются.

Другой вариант доказательства:  и  параллельны и задают плоскость.  пересекает эту плоскость в точке  и не пересекает саму прямую . Это признак скрещивающихся прямых.

Чтобы измерить угол между скрещивающимися прямыми, нужно сдвинуть их параллельным переносом до пересечения. Угол между прямыми  и  равен углу между  и . Но это диагонали ромба и угол прямой:

2. Рассмотрим теперь пару прямых  и . Аналогично любому из предыдущих рассуждений легко показать, что они скрещиваются.

Угол между  и  равен углу между  и , т. е. . Диагональ ромба делит угол пополам. Таким образом:

Ответ: ; .

Задачи на перпендикулярность

Задача 6. Доказать, что если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна плоскости (см. рис. 11).

Доказательство

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то, по определению, она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости. Но тогда вторая прямая тоже им всем перпендикулярна, а следовательно, и самой плоскости:

Таким образом, если одна из параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая тоже.

Обратное утверждение будет звучать так: если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны друг другу.

Пусть  и  перпендикулярны плоскости . Предположим, что они не параллельны. Отметим на прямой  точку  и проведем через нее прямую , параллельную  (см. рис. 12). Она тоже будет перпендикулярна плоскости.

Через точки пересечения  и  с плоскостью  проходит прямая  (см. рис. 13).

Но тогда в плоскости  через точку  проходят две прямые, перпендикулярные прямой , чего быть не может.

Доказано.

Задача

Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости.

Доказательство

Итак, нам необходимо показать, что если прямая перпендикулярна прямым  и  плоскости , то она перпендикулярна и произвольной прямой  плоскости, что и будет означать перпендикулярность прямой  и плоскости  (см. рис. 14).

Рассмотрим случай, когда прямая  проходит через точку . Проведем через точку  прямую , параллельную  (см. рис. 15). Если мы докажем, что  перпендикулярна , то это будет означать, что она перпендикулярна и .

Доказательство равенства или перпендикулярности отрезков обычно сводится к рассмотрению треугольников, где эти отрезки являются какими-то элементами. Но пока у нас все прямые пересекаются в одной точке , никаких треугольников мы не получим. Отодвинемся от точки .

Отметим на прямой , на равном расстоянии от , точки  и . В плоскости  проведем прямую, пересекающую уже имеющиеся три прямые в точках ,,. Соединим эти точки с точками  и  (см. рис. 16). Получили много треугольников и теперь можем попробовать их использовать для нашего доказательства.

Прямые  и  проходят через середину отрезка  и перпендикулярны ему, т. е. это серединные перпендикуляры. Тогда все точки, лежащие на них, равноудалены от  и .

Таким образом,  и . Тогда треугольники  и  равны по третьему признаку. Следовательно, .

Но тогда по первому признаку равны треугольники  и . Следовательно, , треугольник  равнобедренный, и его медиана  является высотой, т. е. прямые  и  перпендикулярны, следовательно, перпендикулярны  и . Так как прямая  была выбрана произвольно на плоскости, то прямая  перпендикулярна плоскости .

Осталось рассмотреть случай, когда прямая не проходит через точку . Но тогда мы проведем через точку  ей параллельную прямую  (см. рис. 17). Она будет тоже перпендикулярна двум прямым  и . Тогда, по только что доказанному,  перпендикулярна плоскости , а вместе с ней и параллельная ей прямая .

Доказано.

Задача 7. Доказать, что через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости, и причем только одна.

Доказательство

Построим в плоскости  произвольную прямую . Построим плоскость , проходящую через точку  перпендикулярно прямой . Она пересекает плоскость  по некой прямой  (см. рис. 18).

Проведем в плоскости  через точку  прямую , перпендикулярную прямой  (см. рис. 19).

Так как  перпендикулярна любой прямой плоскости , то  перпендикулярна прямым  и , следовательно, и всей плоскости . Итак, мы доказали существование прямой, перпендикулярной плоскости.

Единственность такой прямой очевидна. Если предположить, что через точку  проходят две прямые, перпендикулярные , то они будут параллельны друг другу и при этом пересекаться в точке , чего быть не может.

Доказано.

Задачи на построение сечений

Задача 8. Построить сечение тетраэдра по трем точкам (см. рис. 20).

Решение

Чтобы построить сечение, нужно изобразить отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани. На левой грани мы имеем уже две точки, значит, знаем и сам отрезок. Соединяем точки. Аналогично на задней грани (см. рис. 21).

Редко когда в задаче у нас будут сразу две точки на каждой необходимой грани. Чтобы построить сечение, нужно будет выходить за пределы самих граней. Суть метода построения сечений состоит в том, чтобы находить отрезки на чертеже, лежащие в одной плоскости, пересекать их, получая дополнительные точки плоскости сечения.

В нашем случае легко видеть, что отрезки  и  лежат в одной плоскости задней грани.

Продлим их и найдем точку пересечения  (см. рис. 22).

Точка  лежит в плоскости сечения и нижней грани. Точка  тоже. Значит, мы можем простроить след плоскости сечения в нижней грани. Получим еще одну точку  (см. рис. 23).

Осталось соединить  и . Мы построили сечение (см. рис. 24).

Такой метод построения часто так и называют – метод следов. Главное, всегда оценивать, лежат ли данные прямые в одной плоскости. Частая ошибка, когда скрещивающиеся прямые на чертеже принимают за пересекающиеся.

Задача 9. Построить сечение параллелепипеда плоскостью  (см. рис. 25).

Решение

Итак, два отрезка у нас уже есть – это  и . Чаще всего новые точки ищут в плоскости нижнего основания, но это не обязательно, просто так легче изображать. Продолжим отрезок  и левое нижнее ребро до пересечения. Обозначим эту точку как  (см. рис. 26). Она у нас пока единственная точка следа от плоскости сечения в нижнем основании. Но след можно построить либо по двум точкам, либо по одной, если есть прямая, параллельная нашему следу.

Теперь вспомним, что если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то она оставляет на них параллельные следы. Таким образом, след в нижнем основании нужно проводить параллельно следу в верхнем основании. Проведем через прямую в плоскости нижнего основания параллельно отрезку . Мы получили еще две точки –  и  (см. рис. 27).

Соединяем  и ,  и  (см. рис. 28).

В правой грани через точку  проводим прямую, параллельную следу в левой грани. Получили последнюю необходимую точку  (см. рис. 29).

Построим сечение (см. рис. 30).

Задача 10. Построить сечение параллелепипеда по трем точкам (см. рис. 31).

Решение

Итак, мы можем соединить точки  и  (см. рис. 32).

Далее у нас есть два варианта. Мы можем пересечь прямые  и . Полученная точка лежит в плоскости нижней грани. Осталось соединить ее с точкой  (см. рис. 33).

Либо можно было сразу в плоскости задней граней через точку  провести отрезок параллельно отрезку  (см. рис. 34).

Если точки на ребрах, задающие плоскость сечения, немного сместить, то сечение может выглядеть иначе (см. рис. 35).

Соединим точки  и . Продлим  и  до пересечения в точке . Эта точка лежит в плоскости нижней грани. Соединяем ее с . Получили точку  (см. рис. 36).

В плоскости задней грани через точку  проводим прямую параллельно . Получили точку . Сечение построено (см. рис. 37).

Здесь можно было обойтись и без дополнительной точки . Через  проводим прямую параллельно . Получили точку  (см. рис. 38).

Через  в плоскости правой грани проводим прямую, параллельную , получаем точку . Сечение построено (см. рис. 39).

Задача 11. Построить сечение тетраэдра по трем точкам (см. рис. 40).

Решение

Точки, задающие плоскость сечения, конечно, не обязаны находиться на ребрах многогранника. Рассмотрим тетраэдр. Точка  лежит на ребре . А вот, где лежит точка , по рисунку мы понять не можем. Это может быть и нижняя грань, и левая. В таких случаях нужно явно проговаривать, где лежит точка.

Пусть точка  лежит на нижней грани, а точка  – на левой. Точки  и  лежат на одной грани – левой. Проводим через них прямую до пересечения с , которая тоже лежит в левой грани. Получили точку сечения  и точку , лежащую в плоскости нижней грани (см. рис. 41).

Проводим прямую . Получили еще две точки сечения  и  (см. рис. 42).

Соединяем все точки сечения, лежащие на одних гранях. Многоугольник замкнулся, сечение построено (см. рис. 43).

Разные задачи

Задача 12. Прямая  перпендикулярна плоскости правильного треугольника , а точка  – середина . Доказать, что .

Доказательство

Очень важно научиться строить чертежи. Итак, у нас есть правильный треугольник , т. е. равносторонний. Равносторонний треугольник изображается произвольным треугольником. Дальше осталось восстановить перпендикуляр к плоскости этого треугольника из точки . Указать на то, что это перпендикуляр, можно, обозначив два прямых угла с прямыми, лежащими в плоскости (см. рис. 44).

Итак,  – перпендикуляр, а  – наклонная (см. рис. 45). Необходимо доказать, что .

Тут явно вырисовывается теорема о трех перпендикулярах. Построим  – медиану, биссектрису и высоту треугольника (см. рис. 46).

 является проекцией наклонной  на плоскость треугольника. Прямая  лежит в плоскости треугольника и перпендикулярна проекции наклонной. Тогда она перпендикулярна и самой наклонной.

Доказано.

Задача 13. Каким соотношением связаны площади треугольника и его ортогональной проекции?

Решение

Вспомним, о чем речь. Ортогональной проекцией треугольника является другой треугольник (см. рис. 47). Есть исключение, подумайте, какое.

Очевидно, что если исходный треугольник параллелен плоскости проектирования, то он равен своей проекции. А вот если начать наклонять одну плоскость относительно другой, то площадь проекции начнет уменьшаться (см. рис. 48). Т. е. площадь точно зависит от угла между плоскостями. Вопрос, как зависит и нет ли других факторов?

Начнем с простого случая. Одна сторона треугольника лежит в плоскости проектирования (см. рис. 49).

Тогда треугольник и его проекция имеют общую сторону . Проведем высоту  исходного треугольника. Соединим  и  (см. рис. 50).

 является проекцией наклонной , значит, ее длина равна произведению длины самой наклонной на косинус угла между ними:

Кроме того, , по теореме о трех перпендикулярах, будет перпендикулярен , т. е. являться высотой треугольника . Тогда угол между этими высотами – это угол между плоскостями. Так как треугольники имеют общее основание, то отношение их площадей равно отношению их высот (см. рис. 51):

Т. е. площадь проекции равна площади самого треугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями:

Легко понять, что во всех остальных случаях соотношение будет таким же.

Если треугольник имеет одну сторону, параллельную плоскости проекции, то спроектируем его сначала на плоскость, параллельную плоскости проекции, но проходящую через эту сторону. Обе проекции равны друг другу, но к одной мы уже можем применить наше соотношение (см. рис. 52).

И в случае отсутствия сторон, параллельных плоскости проекции, проведем через одну вершину треугольника параллельную плоскость так, чтобы она разбила его на два треугольника (см. рис. 53).

Мы получим два треугольника из первого случая. Сумма площадей их проекций даст площадь всей проекции (см. рис. 54). Итак, формула  является общей для всех случаев.

Если плоскости параллельны, то ,  и площадь проекции равна площади исходного треугольника (см. рис. 55).

Если плоскости перпендикулярны, то угол равен  градусам,  и площадь проекции равна нулю (см. рис. 56). Конечно, ведь треугольник в этом случае проектируется в отрезок.

Более того, разбивая произвольный многоугольник на треугольники, получаем ту же формулу (см. рис. 57).

Идем еще дальше, произвольную плоскую фигуру приближаем как угодно точно многоугольниками и получаем ту же формулу и для произвольной фигуры (см. рис. 58).

Таким образом, площадь ортогональной проекции произвольной плоской фигуры на произвольную плоскость равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями фигуры и проекции.

Задача 14. Найти двугранный угол  тетраэдра , если , , .

Решение

Для начала вспомним, как понимать обозначение  двугранного угла. Две средние буквы  – это его ребро. Крайние буквы  и  вместе с ребром задают плоскости его граней. Т. е. у нас идет речь об угле между нижней и правой гранями тетраэдра (см. рис. 59).

Величина двугранного угла равна величине его плоского угла, который мы получим, если из любой точки ребра проведем перпендикуляры в каждой грани. В нижней грани мы уже такой перпендикуляр видим – . Тогда может быть  – это второй перпендикуляр в правой грани? Попробуем это понять.

Итак, , следовательно,  – перпендикуляр к плоскости ,  – наклонная,  – проекция наклонной. , следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, . Наше предположение оказалось верным. Следовательно,  – это плоский угол нашего двугранного угла. Осталось найти его величину.

В прямоугольном треугольнике  (а мы теперь знаем, что он прямоугольный) найдем неизвестный катет  по теореме Пифагора:

Рассмотрим треугольник . Гипотенуза , а катет , в два раза меньше. Напротив такого катета лежит угол в . Значит, . Значит, и двугранный угол равен .

Ответ: .

Задача 15. Правильные треугольники  и  расположены так, что вершина одного проектируется в центр другого. Вычислить угол между плоскостями этих треугольников (см. рис. 60).

Решение

Итак, понятно, что речь идет о равных треугольниках с общей стороной. Кроме того, треугольники равносторонние. Вершина  одного проектируется в центр  другого.

 – это точка пересечения медиан нижнего треугольника, следовательно, она лежит на медиане  и делит ее в отношении . Т. е.  – это от всей медианы (см. рис. 61).

Медианы  и  являются одновременно высотами, т. е. они перпендикулярны . Следовательно,  является плоским углом двугранного угла  (см. рис. 62).

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, т. к.  – перпендикуляр к плоскости нижнего треугольника. Так треугольники равны, то равны и их медианы. Следовательно:

Следовательно:

Ответ: .

Задача

Доказать, что каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов (см. рис. 63).

Доказательство

Это очень похоже на неравенство треугольника. Добраться от ребра  до  быстрее по , чем через углы  и . Пусть  – самый большой плоский угол из трех. Докажем, что он все же меньше суммы двух других.

Построим  (см. рис. 64). Остается показать, что оставшаяся часть , т. е.  меньше .

Отложим отрезок  (см. рис. 65).

, при этом . Следовательно, . Таким образом, мы получили два треугольника  и , у которых равны две пары боковых сторон. Нужно показать, что в такой ситуации угол при вершине треугольника больше у того треугольника, у которого больше основание.

Это отдельная интересная планиметрическая задача. Приставим эти треугольники друг к другу на плоскости равными боковыми сторонами или, в нашем случае, просто разогнем двугранный угол по ребру  (см. рис. 66).

Получим плоский четырехугольник . Соединим  и . Треугольник  равнобедренный. Проведем биссектрису-медиану-высоту  (см. рис. 67).  – серединный перпендикуляр .

Точка  должна лежать в одной полуплоскости с  относительно него, так как здесь лежат все точки, расстояние от которых до  меньше, чем до . Но тогда  в самом деле меньше .

Доказано.

Задача

Доказать, что сумма плоских углов многогранного угла меньше .

Доказательство

Проведем плоскость, пересекающую все ребра выпуклого многогранного угла.

Получим - угольную пирамиду с выпуклым многоугольником в основании (см. рис. 68).

Обозначим верхние углы боковых граней, т. е. плоские углы трехгранного угла, как . А углы при основании граней как , где без штрихов и со штрихами будут углы слева и справа от соответствующей вершины (см. рис. 69).

У пирамиды  граней. Сумма углов каждой грани равна . Тогда:

Но  и  – это два плоских угла трехгранного угла с вершиной . Третий плоский угол здесь – это угол основания пирамиды с вершиной . Назовем его  (см. рис. 70).

Но плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других:

Тогда:

Доказано.

Список литературы

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11 класс. Учебник. – М.: АО «Издательство «Просвещение».

2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11 класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.

3. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – М.: АО «Издательство «Просвещение».

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «uztest.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Прямые  и  параллельные, а  и  – скрещивающиеся прямые. Найти угол между прямыми  и , если .

2. Прямая  перпендикулярна к плоскости  и точка является серединой отрезка . Доказать, что , если .

3. Изобразить параллелепипед  и построить его сечение плоскостью , где точки ,, лежат, соответственно, на ребрах ,,.