15. Примеры экзаменационных задач по геометрии

Решение типовой задачи, где пирамида не правильная и боковое ребро перпендикулярно плоскости основания

Задача 1

Дан прямоугольный треугольный треугольник (). Гипотенуза , катет . Отрезок , перпендикулярен плоскости (). Найти длину вектора  и угол между прямой и плоскостью (). Также необходимо найти угол , найти угол и расстояние между прямыми и , найти величину двугранного угла между плоскостями () и () (рис. 1).

Решение

;

.

Угол между прямой и плоскостью () равен углу между прямыми и , так как – это проекция прямой на плоскость ().

Рассмотрим : в нем угол , а катеты и равны (). Значит угол , так как этот треугольник прямоугольный и равнобедренный.

Так как – это проекция прямой на плоскость () и наклонная перпендикулярна прямой в плоскости основания, то, по теореме о трех перпендикулярах, наклонная также перпендикулярна этой прямой.

Поскольку прямая перпендикулярна всей плоскости (), то она перпендикулярна и всем прямым, лежащим в плоскости, значит, угол между прямыми и равен .

Расстояние между скрещивающимися прямыми и – это длина отрезка, перпендикулярного обоим прямым. В данной задаче этот отрезок и его длина уже найдены – это (так как он перпендикулярен и по условию).

Для нахождения двугранного угла между плоскостями () и (), необходимо в каждой плоскости найти прямую, перпендикулярную линии пересечения . Угол между найденными линиями и будет линейным углом двугранного угла. По условию перпендикулярна всей плоскости основания пирамиды, значит и ее ребра и тоже перпендикулярны . Значит: искомый двугранный угол равен .

Найдем :

.

Ответ: ; ; ; угол между прямыми и равен , а расстояние между ними равно 12 см; .

Решение типовой задачи, где присутствует правильная пирамида

Задача 2

В правильной четырехугольной пирамиде, диагональ основания равна , а двугранный угол при основании равен . Найти площадь полной поверхности пирамиды, угол между прямыми и и отрезок, характеризирующий расстояние между ними (рис. 2).

Решение

Правильная -угольная пирамида – это пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник, а высота проецируется в его центр (центр вписанной и описанной окружности).

Возьмем точку – середину . Треугольник равнобедренный (так как у нас правильная пирамида), поэтому медиана является биссектрисой и высотой, и .  и , значит,  – двугранный угол при основании.

Найдем сторону квадрата в основании пирамиды:

.

Площадь основания равна квадрату стороны: .

Рассмотрим прямоугольный треугольник ():  по условию, катет и – катет, лежащий против угла в , и соответственно равный половине гипотенузы. Отсюда .

Площадь боковой поверхности равна: .

Площадь полной поверхности – это сумма площади основания и площади боковой поверхности: .

Найдем угол между скрещивающимися прямыми и . – наклонная, а ее проекция на плоскость основания – . По свойствам квадрата, его диагонали пересекаются под прямым углом, значит, . По теореме о трех перпендикулярах, прямые и – перпендикулярны.

Проведем перпендикуляр . , так как перпендикулярна всей плоскости (). То есть мы нашли отрезок, характеризующий расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Если потребуется его найти, то рассматривается прямоугольный треугольник , в нем – высота к гипотенузе. Площадь этого треугольника равна  и равна . Тогда из равенства площадей можно найти .

Ответ: площадь полной поверхности пирамиды равна , угол между прямыми и равен .

Выводы

Была рассмотрена одна типовая задача из контрольной работы, где пирамида не правильная и боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Также была рассмотрена вторая типовая задача, где присутствует правильная пирамида.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Могут ли несколько граней треугольной пирамиды (больше одной) быть перпендикулярными основанию?

2. Сколько пар скрещивающихся прямых в четырехугольной пирамиде?

3. Какой угол между основанием и ребром пирамиды, если высота проецируется на середину ребра основания и равна его половине?

4. Найдите сторону ромба, лежащего в основании пирамиды, если ее высота равна 6 см, а все ребра грани с плоскостью основания углы ?

5. В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 5 см. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом . Найдите высоту пирамиды.