08. Призма

Построение призмы

Многогранник, называемый призмой, можно построить следующим образом. Рассмотрим параллельные плоскости и (рис. 1), то есть такие плоскости, которые не имеют общих точек (не пересекаются).

В плоскости возьмем какой-нибудь многоугольник (рис. 2). Многоугольник может иметь произвольное количество сторон. В данном случае у нас нарисован пятиугольник. В плоскости возьмем многоугольник , который равен многоугольнику , причем так, чтобы равные стороны и , и   и этих многоугольников были попарно параллельны.

Определение призмы, основные элементы призмы

Напоминание. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Например, есть какая-то плоскость, в которой лежат прямые и и эти прямые в этой плоскости параллельные, то есть не пересекаются (рис. 3).

Проведем теперь отрезки , , , … , (рис. 4). В результате мы получим параллелограммов , , … , . Это действительно параллелограммы. Возьмем, например, четырехугольник . Стороны и равны и параллельны. Значит, четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, -угольной призмой называется многогранник , состоящий из двух равных -угольников и и параллелограммов , , … , .

Многоугольники и называются основаниями призмы (рис. 5).

Параллелограммы , , … , называются боковыми гранями призмы.

Отрезки , , , … , называются боковыми ребрами призмы.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Вспомним понятие перпендикулярности прямой и плоскости.

Рассмотрим плоскость (рис. 6). Прямая , пересекающая плоскость в точке , называется перпендикулярной плоскости , если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости, проходящей через точку .

Проведем в плоскости прямую с через точку (рис. 7). Если прямая перпендикулярна прямой , то прямая перпендикулярна и всей плоскости . Причем прямых, в этом случае перпендикулярных прямой из плоскости , бесконечно много (рис. 8).

Перпендикулярность прямой и плоскости обозначается следующим образом: . Говорят, прямая перпендикулярна плоскости .

Прямая и наклонная призма

Если все ребра призмы перпендикулярны плоскости ее основания, то призма называется прямой. Пример прямой пятиугольной призмы (рис. 9), то есть такой призмы, у которой все боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Если ребра не перпендикулярны плоскости основания призмы, то призма называется наклонной. Пример наклонной четырехугольной призмы (рис. 10).

Правильная призма

Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной. Пример правильной шестиугольной призмы (рис. 11). То есть это прямая призма, у которой в основании лежат правильные шестиугольники.

Высота призмы

Выберем точку одного из оснований призмы. Проведем через нее прямую, перпендикулярную плоскости другого основания и пересекающую ее в точке . Полученный отрезок называется высотой призмы (рис. 12).

В курсе стереометрии 10-11 классов доказывается, что все высоты призмы равны и параллельны друг другу. То есть высот в призме можно провести бесконечно много. Все зависит от того, где мы выберем точку .

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Домашнее задание

1. Какое наименьшее число ребер может иметь призма?

2. Сколько ребер у шестиугольной призмы?

3. Какое наименьшее число граней может иметь призма?

4. Найдите расстояние между вершинами  и  прямоугольного параллелепипеда , если , , .

5. Площадь поверхности куба 24 см2. Найдите площадь диагонального сечения.