02. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Тема урока

На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Напоминание определения перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство.

Пусть нам дана плоскость . В этой плоскости лежат две пересекающиеся прямые и . Прямая перпендикулярна прямой и прямой . Нам нужно доказать, что прямая перпендикулярна плоскости , то есть, что прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости .

Напоминание.

Для доказательства нам нужно вспомнить свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Серединный перпендикуляр к отрезку – это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. То есть, если точка лежит на серединном перпендикуляре , то .

Пусть точка – точка пересечения прямой и плоскости (рис. 2). Без ограничения общность, будем считать, что прямые и пересекаются в точке . Нам нужно доказать перпендикулярность прямой к произвольной прямой из плоскости .

Проведем через точку прямую , параллельно прямой . На прямой отложим отрезки и , причем , то есть точка – середина отрезка . Проведем прямую , , , .

Прямая перпендикулярна прямой (из условия), ,  (по построению). Значит, – серединный перпендикуляр к отрезку . Точка лежит на прямой . Значит, .

Прямая перпендикулярна прямой (из условия), ,  (по построению). Значит, – серединный перпендикуляр к отрезку . Точка лежит на прямой . Значит, .

Треугольники и равны по трем сторонам (, , – общая сторона). Значит, углы и равны.

Треугольники и равны по углу и двум прилежащим сторонам (, , – общая сторона). Из равенства треугольников получаем, что .

Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, так как . В равнобедренном треугольнике медиана является и высотой, то есть прямая перпендикулярна .

Мы получили, что прямая перпендикулярна прямой , а значит, и прямой , что и требовалось доказать.

Задача 1

Точки , , лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости , а точки , , и лежат в плоскости (рис. 3). Какие из следующих углов являются прямыми: , , , , ?

Решение

Рассмотрим угол . Прямая перпендикулярна плоскости , а значит, прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости , в том числе прямой . Значит, .

Рассмотрим угол . Прямая перпендикулярна прямой , значит, .

Рассмотрим угол . Прямая перпендикулярна прямой , значит, . Рассмотрим треугольник . В треугольнике может быть только один прямой угол. Значит, угол – не является прямым.

Рассмотрим угол . Прямая перпендикулярна прямой , значит, .

Рассмотрим угол . Это угол в прямоугольном треугольнике , он не может быть прямым, так как угол – прямой.

Ответ: .

Задача 2

В треугольнике дано: , , , – медиана (рис. 4). Через вершину проведена прямая , перпендикулярная к плоскости треугольника , причем . Найдите .

Решение:

Найдем длину по теореме Пифагора: (см).

По свойству прямоугольного треугольника середина гипотенузы равноудалена от вершин треугольника. То есть , (см).

Рассмотрим треугольник . Прямая перпендикулярна плоскости , а значит, перпендикулярна . Значит, треугольник – прямоугольный. Найдем гипотенузу из теоремы Пифагора: (см).

Ответ: 13 см.

Напоминание свойства медианы в прямоугольном треугольники

При решении задачи мы пользовались важным свойством. Напомним его.

В треугольнике угол равен тогда и только тогда, когда медиана  (рис. 5).

1) Рассмотрим треугольник , . Достроим треугольник до прямоугольника (рис. 5). Диагонали в прямоугольнике равны и делятся точкой пересечения пополам. Отсюда получаем, , .

2) Пусть в треугольнике медиана . Треугольник – равнобедренный, . Треугольник – равнобедренный, . Запишем сумму всех углов треугольника :

;

;

.

Итоги урока

Мы рассмотрели признак перпендикулярности прямой и плоскости и доказали его. На следующем уроке мы продолжим изучение темы «Перпендикулярность прямой и плоскости»

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 1, 2, 5, 6 стр. 57

2. Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Укажите в кубе пару - ребро и грань, которые являются перпендикулярными.

4. Точка лежит вне плоскости равнобедренного треугольника и равноудалена от точек и . – середина основания . Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .