10. Простейшие задачи на применение теоремы о трёх перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью

Тема урока

Данный урок посвящен теме «Простейшие задачи на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью».

Напоминание

Рассмотрим плоскость , параллельные прямые и лежат в плоскости (рис. 1). Точка лежит вне плоскости . Проведем прямую перпендикулярно плоскости , .

– основание перпендикуляра;

.

Из точки опустим перпендикуляр на прямую . Прямая перпендикулярна плоскости , а значит, и всем прямой , лежащей в ней. Имеем, что прямая  перпендикулярна двум пересекающимся прямым и плоскости , значит, по признаку, прямая  перпендикулярна плоскости Прямая лежит в плоскости . Значит, прямая  перпендикулярна прямой . Этот факт записан в теореме о трех перпендикулярах.

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. 

Рассмотрим рисунок 1:

– перпендикуляр;

– наклонная;

- проекция наклонной на плоскость ; 

По теореме о трех перпендикулярах и теореме, обратной к ней:

Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Посмотрим на рисунок 1. – перпендикуляр, – наклонная, - проекция наклонной на плоскость . Тогда угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией , то есть это угол .

.

Задача 1

Из точки , не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр и две равные наклонные и . Известно, что , . Найдите расстояние между основаниями наклонных, угол между прямой и плоскостью .

Дано: , , .

Найти: , .

Решение:

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, так как перпендикулярна . Найдем гипотенузу .

Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, так как . А угол равен . Значит, треугольник – равносторонний. Получаем, .

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость То есть, .

Ответ: , .

Задача 2

Расстояние от точки до каждой из вершин правильного треугольника равно 4 см. Найдите расстояние от точки до плоскости , если . Чему равен угол между прямой и плоскостью ?

Дано: ; .

Найти: ; .

Решение:

Пусть – перпендикуляр к плоскости . Найдем месторасположение точки .

Треугольники , , равны по гипотенузе и общему катету (, катет – общий). Значит, . То есть точка равноудалена от вершин треугольника . Значит, – центр описанной окружности, а отрезок равен радиусу описанной окружности. Найдем радиус описанной окружности из теоремы синусов.

.

Значит, .

Длина перпендикуляра и есть расстояние от точки до плоскости . Рассмотрим прямоугольный треугольник . Найдем по теореме Пифагора.

.

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией , то есть угол . Найдем его из треугольника .

.

Так как угол – острый, то .

Ответ: , .

Задача 3 (свойство)

Прямая проведенная из центра описанной около треугольника окружности, есть геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от вершин треугольника.

Дано: , .

, , .

Доказать: .

Доказательство.

Пусть – перпендикуляр к плоскости (рис. 4). Прямоугольные треугольники , , равны по двум катетам (, катет – общий). Значит, . То есть точка равноудалена от вершин треугольника , что и требовалось доказать.

Теперь докажем в обратную сторону.

Дано: .

Доказать: . 

Доказательство.

Пусть – перпендикуляр к плоскости (рис. 4). Треугольники , , равны по катету и гипотенузе (, катет – общий). Значит, . То есть точка – центр описанной окружности, – перпендикуляр .

Примечание: Из равенства треугольников , , следует равенство углов . То есть прямые , , образуют с плоскостью равные углы.

Свойство серединного перпендикуляра

Дан отрезок (рис. 5). Точка – середина отрезка . – перпендикуляр к прямой , проходящий через точку . Если точка лежит на серединном перпендикуляре, то точка равноудалена от концов отрезка , то есть .

Если точка равноудалена от концов отрезка , то она лежит на серединном перпендикуляре .

Задача 4

Прямая пересекает плоскость в точке и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости через точку проходит прямая, перпендикулярная к прямой , и притом только одна.

Дано: – наклонная к . 

Доказать:

1) существует , ,

2) – единственная.

Доказательство:

Проведем прямую , перпендикулярно плоскости . Тогда – проекция наклонной на плоскость . Через точку в плоскости α проведем прямую , перпендикулярно прямой . Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, прямая перпендикулярна также прямой . Прямая – искомая. Докажем, что такая прямая единственная.

Предположим, что существует прямая , такая что , , . Если прямая  перпендикулярна наклонной , то она перпендикулярна и проекции, . Тогда через точку проходит две прямые и , перпендикулярные прямой , что невозможно. Значит, в плоскости α через точку М проходит единственная прямая, перпендикулярная к прямой , что и требовалось доказать.

Итоги урока

Итак, мы рассмотрели простейшие задачи на теорему о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью. Следующий урок мы также посвятим решению задач на эти темы.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 16, 17 стр. 63

2. В треугольнике угол между сторонами и равен . В вершине этого угла построен перпендикуляр к плоскости треугольника. Найдите расстояния от концов перпендикуляра к середине стороны .

3. В центре ромба, периметр которого 40 см, а диагонали относятся как , построен перпендикуляр к его плоскости. Найдите расстояния от точки до вершины ромба.

Через вершину прямого угла проведена прямая, которая образует со сторонами этого угла углы по . Найдите угол, который образует эта прямая с плоскостью прямого угла.