01. Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости
02. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
03. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости
04. Повторение теории и решение простейших задач на перпендикулярность прямой и плоскости
05. Повторение теории и решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости
06. Повторение теории и решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости (продолжение)
07. Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах
08. Угол между прямой и плоскостью
09. Повторение теории по темам «Теорема о трёх перпендикулярах», «Угол между прямой и плоскостью»
10. Простейшие задачи на применение теоремы о трёх перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью
11. Типовые задачи на применение теоремы о трёх перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью
12. Решение задач
21 мин
13. Двугранный угол
14. Признак перпендикулярности двух плоскостей
15. Прямоугольный параллелепипед
16. Прямоугольный параллелепипед (продолжение)
17. Повторение теории и решение задач по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»
18. Повторение теории и решение задач по теме «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью»
19. Повторение теории и решение задач по теме «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей»
16. Прямоугольный параллелепипед (продолжение)
Видео доступно по абонементу
Прямоугольный параллелепипед
Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если:
1. (то есть, параллелепипед прямой).
2. , т. е. в основании тоже лежит прямоугольник.
Основные элементы: грани, ребра, вершины, диагонали и др.
Свойства прямоугольного параллелепипеда
1. Все свойства произвольного параллелепипеда.
2. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
(см. рис. 2).
5. Диагонали равны.
Определение. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.
Все грани куба – это равные квадраты.
Задача 1
Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.
Дано: – куб.
Найти: .
Решение:
Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией. Проекцией прямой на плоскость является прямая , так как . Поэтому: . Ребро куба обозначим за : . Тогда:
.
Ответ: .
Задача 2
В прямоугольном параллелепипеде дано: , , .
Найдите расстояние между:
а) прямой и плоскостью ;
б) плоскостями и :
в) прямой и плоскостью ;
Найдите:
г) косинус угла между прямой и плоскостью ;
д) расстояние между прямыми и .
Дано: – прямоугольный параллелепипед.
, , .
а) .
Решение:
Пусть , .
Найдем из прямоугольного треугольника с помощью теоремы Пифагора: . То есть, .
(как диагонали в прямоугольнике). Найдем из прямоугольного треугольника с помощью теоремы Пифагора: . То есть, .
Прямая параллельна плоскости . Значит, расстоянием между прямой и плоскостью является перпендикуляр, опущенный с точки прямой на плоскость , например, . Значит, .
Ответ: .
б) .
Плоскости и параллельны. Значит, расстоянием является перпендикуляр, опущенный с любой точки одной плоскости на другую плоскость. Например, перпендикуляр . Из пункта а) имеем: .
Ответ: .
в) .
Прямая параллельна прямой из плоскости , а значит, прямая параллельна плоскости . Опустим с точки прямой перпендикуляр к прямой (рис. 5).
Прямая перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой , так как .
Получаем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и из плоскости . Значит, прямая – есть перпендикуляр к плоскости . Тогда, .
Из прямоугольного треугольника выразим :
Из прямоугольного треугольника имеем:
Получаем:
Ответ: .
г) .
Решение:
Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и ее проекцией на плоскость . – перпендикуляр к плоскости . Значит, проекция на плоскость – это . Значит, .
Ответ: .
д) .
Решение:
Прямая лежит в плоскости , а прямая пересекает плоскость в точке, не лежащей на прямой . Значит, прямые и скрещиваются. Прямая параллельна плоскости , в которой лежит прямая .
Значит, .
Ответ: .
Итоги урока
Итак, мы повторили основные свойства прямоугольного параллелепипеда и решили задачи с использованием этих свойств. Следующий урок мы посвятим повторению перпендикулярности прямой и плоскости.
Список литературы
И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.
Домашнее задание
И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Задания 12, 13 стр. 68.
Найдите диагонали прямого параллелепипеда , где , , , .
Вспомните, какие фигуры могут получиться в результате сечения параллелепипеда плоскостью.
Найдите косинус двугранного угла при ребре прямого параллелепипеда (см. рис.), если , , площадь грани , а площадь грани .