01. Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости
16 мин
02. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
14 мин
03. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости
12 мин
04. Повторение теории и решение простейших задач на перпендикулярность прямой и плоскости
21 мин
05. Повторение теории и решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости
15 мин
06. Повторение теории и решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости (продолжение)
15 мин
07. Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах
19 мин
08. Угол между прямой и плоскостью
17 мин
09. Повторение теории по темам «Теорема о трёх перпендикулярах», «Угол между прямой и плоскостью»
15 мин
10. Простейшие задачи на применение теоремы о трёх перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью
18 мин
11. Типовые задачи на применение теоремы о трёх перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью
12 мин
12. Решение задач
21 мин
13. Двугранный угол
13 мин
14. Признак перпендикулярности двух плоскостей
15 мин
15. Прямоугольный параллелепипед
14 мин
16. Прямоугольный параллелепипед (продолжение)
13 мин
17. Повторение теории и решение задач по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»
14 мин
18. Повторение теории и решение задач по теме «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью»
19 мин
19. Повторение теории и решение задач по теме «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей»
14 мин
16. Прямоугольный параллелепипед (продолжение)
Видео доступно по абонементу
Прямоугольный параллелепипед
Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если:
1. (то есть, параллелепипед прямой).
2. , т. е. в основании тоже лежит прямоугольник.
Основные элементы: грани, ребра, вершины, диагонали и др.
Свойства прямоугольного параллелепипеда
1. Все свойства произвольного параллелепипеда.
2. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
(см. рис. 2).
5. Диагонали равны.
Определение. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.
Все грани куба – это равные квадраты.
Задача 1
Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.
Дано: – куб.
Найти: .
Решение:
Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией. Проекцией прямой на плоскость является прямая , так как . Поэтому: . Ребро куба обозначим за : . Тогда:
.
Ответ: .
Задача 2
В прямоугольном параллелепипеде дано: , , .
Найдите расстояние между:
а) прямой и плоскостью ;
б) плоскостями и :
в) прямой и плоскостью ;
Найдите:
г) косинус угла между прямой и плоскостью ;
д) расстояние между прямыми и .
Дано: – прямоугольный параллелепипед.
, , .
а) .
Решение:
Пусть , .
Найдем из прямоугольного треугольника с помощью теоремы Пифагора: . То есть, .
(как диагонали в прямоугольнике). Найдем из прямоугольного треугольника с помощью теоремы Пифагора: . То есть, .
Прямая параллельна плоскости . Значит, расстоянием между прямой и плоскостью является перпендикуляр, опущенный с точки прямой на плоскость , например, . Значит, .
Ответ: .
б) .
Плоскости и параллельны. Значит, расстоянием является перпендикуляр, опущенный с любой точки одной плоскости на другую плоскость. Например, перпендикуляр . Из пункта а) имеем: .
Ответ: .
в) .
Прямая параллельна прямой из плоскости , а значит, прямая параллельна плоскости . Опустим с точки прямой перпендикуляр к прямой (рис. 5).
Прямая перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой , так как .
Получаем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и из плоскости . Значит, прямая – есть перпендикуляр к плоскости . Тогда, .
Из прямоугольного треугольника выразим :
Из прямоугольного треугольника имеем:
Получаем:
Ответ: .
г) .
Решение:
Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и ее проекцией на плоскость . – перпендикуляр к плоскости . Значит, проекция на плоскость – это . Значит, .
Ответ: .
д) .
Решение:
Прямая лежит в плоскости , а прямая пересекает плоскость в точке, не лежащей на прямой . Значит, прямые и скрещиваются. Прямая параллельна плоскости , в которой лежит прямая .
Значит, .
Ответ: .
Итоги урока
Итак, мы повторили основные свойства прямоугольного параллелепипеда и решили задачи с использованием этих свойств. Следующий урок мы посвятим повторению перпендикулярности прямой и плоскости.
Список литературы
И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.
Домашнее задание
И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
Задания 12, 13 стр. 68.
Найдите диагонали прямого параллелепипеда , где , , , .
Вспомните, какие фигуры могут получиться в результате сечения параллелепипеда плоскостью.
Найдите косинус двугранного угла при ребре прямого параллелепипеда (см. рис.), если , , площадь грани , а площадь грани .