15. Прямоугольный параллелепипед

Определение параллелепипеда

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов  и и четырех параллелограммов , , , , называется параллелепипедом (рис. 1).

То есть: имеем два равных параллелограмма и (основания), они лежат в параллельных плоскостях так, что боковые ребра , , , параллельны. Таким образом, составленная из параллелограммов поверхность называется параллелепипедом.

Таким образом, поверхность параллелепипеда - это сумма всех параллелограммов, из которых составлен параллелепипед.

Свойства параллелепипеда

1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

(фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)

Например:

(равные параллелограммы по определению),

(так как и – противоположные грани параллелепипеда),

(так как и – противоположные грани параллелепипеда).

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Диагонали параллелепипеда , , , пересекаются в одной точке , и каждая диагональ делится этой точкой пополам (рис. 2).

3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер параллелепипеда: 1 – , , , , 2 – , , , , 3 – , , , .

Прямой параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Пусть боковое ребро перпендикулярно основанию (рис. 3). Это означает, что прямая перпендикулярна прямым и , которые лежат в плоскости основания. А, значит, в боковых гранях лежат прямоугольники. А в основаниях лежат произвольные параллелограммы. Обозначим, , угол может быть любым.

Итак, прямой параллелепипед - это параллелепипед, в котором боковые ребра перпендикулярны основаниям параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед

Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.

Параллелепипед – прямоугольный (рис. 4), если:

1. (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).

2. , т. е. в основании лежит прямоугольник.

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.

Итак, прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание прямоугольного параллелепипеда - прямоугольник.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.

и – прямоугольники по определению.

2. Боковые ребра перпендикулярны основанию. Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.

3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Рассмотрим, например, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром , т. е. двугранный угол между плоскостями и .

– ребро, точка лежит в одной плоскости – в плоскости , а точка в другой – в плоскости . Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: .

Возьмем точку на ребре . – перпендикуляр к ребру в плоскости , перпендикуляр к ребру в плоскости . Значит, – линейный угол данного двугранного угла. , значит, двугранный угол при ребре равен .

.

Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Теорема

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.

Дано: – прямоугольный параллелепипед (рис. 5).

Доказать: .

Доказательство:

Прямая перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой . Значит, треугольник – прямоугольный. По теореме Пифагора:

Рассмотрим прямоугольный треугольник . По теореме Пифагора:

Но и – противоположные стороны прямоугольника. Значит, . Тогда:

Так как , а , то . Поскольку , то что и требовалось доказать.

Следствие - Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. 

Обозначим измерения параллелепипеда как , , (см. рис. 6), тогда .

Куб

Определение. Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.

Все грани куба – это равные квадраты.

Задача 1 Найти диагональ куба

Найти диагональ куба с ребром 1 (рис. 7).

Решение:

.

Ответ: .

Задача 2

Рисунок

Дан куб (рис. 8). Докажите, что плоскости и перпендикулярны.

Доказательство:

Прямые и перпендикулярны как диагонали квадрата .

Прямая перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой , которая лежит в этой плоскости.

Имеем, прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и плоскости, значит . Значит, прямая перпендикулярна плоскости .

Плоскость проходит через перпендикуляр ко второй плоскости , значит, плоскости и перпендикулярны по признаку, что и требовалось доказать.

Итоги урока по теме Прямоугольный параллелепипед и его измерения (ребра, основание, площадь, диагональ, поверхность, площадь поверхности)

Итак, мы познакомились с прямоугольным параллелепипедом и прямым параллелепипедом, рассмотрели его основные свойства. Этой важной геометрической фигуре будет посвящен и следующий урок.

Список литературы по теме \"Прямой параллелепипед\", \"Ребра прямоугольного параллелепипеда\", \"Основание параллелепипеда\", \"Поверхность параллелепипеда\", \"Длина диагонали параллелепипеда\"

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Домашнее задание для закрепления темы \"Основание параллелепипеда\", \"Поверхность параллелепипеда\", \"Основание прямоугольного параллелепипеда\", \"Вершины параллелепипеда\", \"Основание прямого параллелепипеда\", \"Измерения параллелепипеда\"

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Задания 8, 14 стр. 68.

3. Каково взаимное расположение двух смежных граней прямого параллелепипеда? А не смежных?

4. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и его гранями в прямоугольном параллелепипеде с измерениями , , .

5. Найдите площадь поверхности прямого параллелепипеда , если , , , а двугранный угол при ребре равен .