07. Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах

Тема урока

На этом уроке мы введем понятия расстояния от точки до плоскости, рассмотрим и докажем важнейшую теорему о трех перпендикулярах.

Расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим плоскость и точку , которая лежит вне этой плоскости (рис. 1). Как известно, из точки можно провести единственную прямую перпендикулярную плоскости . Проведем прямую перпендикулярно плоскости , .

Определение. Отрезок называется перпендикуляром, проведенным из точки к плоскости . То есть, перпендикуляр – это отрезок.

Определение. Пусть точка другая произвольная точка плоскости . Тогда отрезок называется наклонной, а отрезок называется проекцией наклонной на плоскость . 

Определение. Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра . Обозн.: . Заметим, что – наименьшее из расстояний между точкой и любой точкой плоскости. Действительно, в прямоугольном треугольнике перпендикуляр (катет ) короче наклонной (гипотенузы ).

Таким образом, чтобы найти расстояние между точкой и плоскостью, нужно найти длину перпендикуляра от точки до плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями

Плоскость и плоскость параллельны. На плоскости выберем произвольную точку (рис. 2). Из точки опустим перпендикуляр на плоскость . Перпендикуляр и назовем расстоянием между плоскостями и .

Заметим, что длина этого перпендикуляра не зависит от того, какую точку мы выбрали.

Например, выберем другую точку , опустим перпендикуляр . Прямые и перпендикулярны одной и той же плоскости, значит, прямые и параллельны. Тогда из свойств параллельных плоскостей отрезки и равны.

Расстояние между прямой и плоскостью

Расстояние между прямой и плоскостью определяется в случаях, когда прямая параллельна плоскости. Тогда все точки прямой равноудалены от плоскости α. Выберем любую точку на прямой , опустим перпендикуляр на плоскость (рис. 3). Длина перпендикуляра и называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью .

Обозн.: .

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Дано: , , , .

Доказать: .

Доказательство:

Пусть нам дана плоскость (рис. 4). Проведем перпендикуляр к плоскости , - наклонная, – основание наклонной. – это проекция наклонной на плоскость . В плоскости проведем прямую через основание наклонной перпендикулярно проекции . Нужно доказать, что прямая перпендикулярна наклонной .

Прямая перпендикулярна плоскости , а значит, и всем прямым, лежащим в ней. Значит, прямая перпендикулярна прямой . Прямая перпендикулярна прямой по условию. Имеем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и плоскости , значит, по признаку, прямая а перпендикулярна плоскости . Прямая лежит в плоскости . Значит, прямая а перпендикулярна прямой , что и требовалось доказать.

Обратная теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. 

Дано: , , , .

Доказать: .

Доказательство:

Пусть нам дана плоскость (рис. 4). Проведем перпендикуляр к плоскости , - наклонная. – это проекция наклонной на плоскость . В плоскости проведем прямую через основание наклонной перпендикулярно наклонной . Нужно доказать, что прямая перпендикулярна проекции .

Прямая перпендикулярна плоскости , а значит, и всем прямым, лежащим в ней. Значит, прямая перпендикулярна прямой . Прямая перпендикулярна прямой по условию. Имеем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и плоскости , значит, по признаку, прямая перпендикулярна плоскости . Прямая лежит в плоскости . Значит, прямая а перпендикулярна прямой , что и требовалось доказать.

Замечание к теореме о трех перпендикулярах

В доказанной прямой и обратной теореме точка (основание наклонной) лежала на прямой , лежащей в плоскости . Давайте проведем в плоскости другую прямую , которая параллельна . Тогда углы между прямыми , , не изменятся. И из перпендикулярности прямой и прямой будет вытекать перпендикулярность прямой и прямой и наоборот.

Задача 1

Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен . 

а) Найти наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен .

б) Найти перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна .

а) Дано: , , .

Найти: , .

Решение:

Итак, имеем плоскость , точку ,  (рис. 6). Вспомним, перпендикуляром называется отрезок , который проведен из точки к плоскости , – наклонная.

Мы имеем треугольник . Этот треугольник прямоугольный. Для того чтобы найти гипотенузу , нужно катет разделить на косинус прилежащего угла .

Найдем катет .

Ответ: , .

б) Дано: , , .

Найти: , . 

Решение:

перпендикуляр, – наклонная, угол между ними , известна длина наклонной . Нужно найти длину перпендикуляра и длину проекции . 

Задача снова свелась к решению прямоугольного треугольника . Найдем катет .

Найдем катет .

Ответ: , .

Задача 2

Через вершину прямоугольного треугольника с прямым углом проведена прямая , перпендикулярная к плоскости треугольника. 

а) докажите, что треугольник прямоугольный.

б) найдите , если , . 

Дано: , .

, . 

Доказать: – прямоугольный.

Найти: .

Решение:

а) Треугольник прямоугольный, угол при вершине прямой.

перпендикуляр к плоскости . Требуется доказать, что треугольник прямоугольный. Для наклонной отрезок является проекцией, потому что перпендикуляр ко всей плоскости . По условию прямая , лежащая в плоскости треугольника, перпендикулярна проекции наклонной , значит, по теореме о трёх перпендикулярах она перпендикулярна и самой наклонной . То есть , а значит прямоугольный.

б) Найдем гипотенузу из прямоугольного треугольника с помощью теоремы Пифагора.

Ответ: .

Задача 3

Отрезок - перпендикуляр к плоскости квадрата , где точка – центр квадрата.

Доказать: .

Доказательство:

Первый способ.

Имеем квадрат, центр квадрата точка , - перпендикуляр. Значит, для наклонной отрезок есть проекция.

Прямая перпендикулярна прямой , которая является проекцией наклонной , значит, по теореме о трех перпендикулярах, прямая перпендикулярна наклонной . 

Второй способ.

Прямая перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой , лежащей в ней.

Прямая перпендикулярна и прямая перпендикулярна прямой по свойству квадрата.

Получаем, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости , значит, она перпендикулярна ко всей плоскости , а значит, и к прямой , лежащей в этой плоскости.

Итоги урока

Мы рассмотрели расстояния от точки до плоскости, доказали и обсудили теорему о трех перпендикулярах. На следующем уроке мы рассмотрим угол между прямой и плоскостью.

Список рекомендованной литературы по теме \"Расстояние между точкой и плоскостью\", \"Теорема о трех перпендикулярах\"

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru‎» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание для вычисления расстояния между точкой и плоскостью

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 2, 3 стр. 65

2. С точки на плоскость опущен перпендикуляр длиной 8 см и наклонная длиной 12 см. Найдите длину проекции наклонной на плоскость.

3. С одной точки на плоскость проведены две равные наклонные. Докажите, что проекции наклонных равны.

4. Дан ромб. – точка пересечения диагоналей ромба. Прямая перпендикулярна плоскости ромба. Докажите, что точка равноудалена от сторон ромба.