04. Решение задач на применение аксиом и их следствий (в параллелепипеде)

Напоминание аксиом стереометрии и теорем, которые следуют из них

Аксиома 1 (А1)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. 

Иллюстрация аксиомы А1.

Рассмотрим три точки: А, В, С, причем точка С не принадлежит прямой АВ:(Рис. 1.). Тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость α, и притом только одна. Плоскость α можно также обозначить через три точки АВС.

Аксиома 2 (А2)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 

Иллюстрация аксиомы А2.

Рассмотрим плоскость α, точки А,  В  прямой α принадлежат плоскости α (Рис. 2.).

Аксиома утверждает – все точки прямой α (прямой АВ) принадлежат плоскости α, т.е. вся прямая лежит в плоскости α или плоскость α проходит через прямую α.

Аксиома 3 (А3).

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (плоскости пересекаются по прямой).

Иллюстрация аксиомы А3.

Имеем разные плоскости: плоскость α, плоскость β. Известно, что они имеют общую точку М, точка М принадлежит плоскости α и плоскости β. (Рис. 3.)

Третья аксиома утверждает, что они имеют прямую, на которой лежат все их общие точки. Прямую мы обозначили за l, т.е. плоскости α и β пересекаются по прямой l, проходящей через точку М.

Повторение теорем, которые следуют из аксиом стереометрии.

Теорема 1

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Иллюстрация теоремы 1.

Даны прямая а и точка М, не лежащая на данной прямой (Рис. 4.). Теорема утверждает, что существует такая единственная плоскость α, которая проходит и через прямую а, и через точку М, и что эта плоскость α – единственная. Это можно записать таким образом:

α единственная

Теорема 2

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Иллюстрация теоремы 2.

Даны прямые а и b, они пересекаются, т.е. имеют единственную общую точку М (Рис. 5.). Теорема утверждает, что существует единственная плоскость α – такая, которая проходит и через прямую а, и через прямую b, что можно записать таким образом: 

Теперь применим аксиомы 1, 2, 3 и теоремы 1, 2 для задач в параллелепипеде.

Решение задачи 1

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (Рис. 6.). Точка L лежит на продолжении прямой AA₁. Точка К лежит на продолжении прямой AD. Прямая LK пересекает ребра в точках N и M.

По какой прямой пересекаются плоскости:

1) АВС и DD₁C₁

2) CC₁B и AA₁B

3) A₁LM и BCD?

Решение:

1) Плоскость АВС – плоскость нижней грани. Плоскость DD₁C₁ – плоскость боковой грани. У них общая прямая DC, по ней эти плоскости пересекаются.

2) Плоскость CC₁B – это плоскость задней грани. Плоскость AA₁B₁ – это плоскость грани AA₁B₁B. Они пересекаются по прямой B₁B.

B₁B – это общая прямая плоскостей CC₁B и AA₁B.

3) Плоскость A₁LM, можно обозначить как LAK. A₁LM - плоскость передней грани ADD₁A₁.

BCD – это плоскость нижней грани. Они пересекаются по прямой АD. Прямая АD входит и в переднюю грань ADD₁A₁ и в нижнюю грань ABCD.

Ответ: 1) DC, 2) B₁, 3) АD.

Решение задачи 2

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (Рис. 6.). Точка L лежит на продолжении прямой AA1. Точка К лежит на продолжении прямой AD. Прямая LK пересекает ребра в точках N и M.

Назовите три разные плоскости, которые пересекаются:

1) в точке А

2) в точке С

Напоминание: В вершине сходятся три плоскости, так как первые две плоскости пересекаются по прямой линии, вторые две плоскости пересекаются по второй прямой линии. Прямые пересекаются в точке. Значит, три плоскости могут пересекаться в одной точке.

Решение: 

1) В точке А пересекаются плоскости АВС – плоскость нижней грани, плоскость AA₁D₁ – плоскость передней грани, плоскость ABB₁– плоскость левой грани. Эти три плоскости пересекаются в точке А.

2) Какие плоскости пересекаются в точке С? Первая плоскость СВD, т.е. это плоскость нижнего основания, вторая плоскость CC₁D₁ и третья плоскость CBB₁.

Ответ: 1) АВС; AA₁D₁; ABB₁
2) СВD; CC₁D₁; CBB₁.

Решение задачи 3

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (Рис. 6.). Точка L лежит на продолжении прямой AA1. Точка К лежит на продолжении прямой AD. Прямая LK пересекает ребра в точках N и M.

По какой прямой пересекаются плоскости ADD₁ и B₁NM?

Плоскость ADD₁– это плоскость передней грани. Заметим, что в ней расположены и точка М, и точка N. Обе точки расположены в этой плоскости, значит, в этой плоскости по аксиоме расположена вся прямая МN. И вторая плоскость B₁NM содержит прямую МN. Значит, прямая МN является линией пересечения двух этих плоскостей.

Ответ: MN

Итоги урока

Итак, мы рассмотрели применение аксиом стереометрии и следствие из них для решения задач в параллелепипеде. А именно: задач на расположение точек, прямых и плоскостей.

Эти сведения будут использованы для решения других задач в следующих уроках.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (Рис. 6.). Точка L лежит на продолжении прямой AA₁. Точка К лежит на продолжении прямой AD. Прямая LK пересекает ребра в точках N и M. По какой прямой пересекаются плоскости:

а) CDB и CDC₁

б) KDN и ABC

в) ND₁M и C₁D₁A₁?

2. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (Рис. 6.). Точка L лежит на продолжении прямой AA₁. Точка К лежит на продолжении прямой AD. Прямая LK пересекает ребра в точках N и M. Назовите три разные плоскости, которым принадлежат:

а) точка N

б) точка D

в) точка B

3. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 6.). Точка L лежит на продолжении прямой AA₁. Точка К лежит на продолжении прямой AD. Прямая LK пересекает ребра в точках N и M. Совпадают ли плоскости ND₁M и KDN? Ответ обоснуйте.

4. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

Задание 13, стр. 10.