03. Решение задач на применение аксиом и их следствий (в пирамиде)

Напоминание аксиом стереометрии

Аксиома 1 (А1)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. 

Иллюстрация аксиомы А1.

Рассмотрим три точки: А, В, С, точка С не принадлежит прямой АВ:(Рис. 1.). Тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость α, и притом только одна. Плоскость α можно также обозначить через три точки АВС.

Аксиома 2 (А2)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 

Иллюстрация аксиомы А2.

Рассмотрим плоскость α, точки А,  В  прямой a принадлежат плоскости α (Рис. 2.).

Аксиома утверждает – все точки прямой a (прямой АВ) принадлежат плоскости a, т.е. вся прямая лежит в плоскости α или плоскость α проходит через прямую a.

Аксиома 3 (А3).

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (плоскости пересекаются по прямой).

Иллюстрация аксиомы А3.

Имеем разные плоскости: плоскость α, плоскость β. Известно, что они имеют общую точку М, точка М принадлежит плоскости α и плоскости β. (Рис. 3.)

Третья аксиома утверждает, что они имеют прямую, на которой лежат все их общие точки. Прямую мы обозначили за l, т.е. плоскости α и β пересекаются по прямой l, проходящей через точку М.

Напоминание теорем, которые следуют из аксиом стереометрии

Из этих аксиом вытекают две важные теоремы.

Теорема 1

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Иллюстрация теоремы 1.

Даны прямая а и точка М, не лежащая на данной прямой (Рис. 4.). Теорема утверждает, что существует такая единственная плоскость α, которая проходит и через прямую а, и через точку М, и что эта плоскость α – единственная. Это можно записать таким образом:

α единственная

Теорема 2

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Иллюстрация теоремы 2.

Даны прямые а и b, они пересекаются, т.е. имеют единственную общую точку М (Рис. 5.). Теорема утверждает, что существует единственная плоскость α – такая, которая проходит и через прямую а, и через прямую b, что можно записать таким образом:

 – единственная

Решение задачи 1

Дана треугольная пирамида АВСD (Рис. 6.). Найти, по какой прямой пересекаются: а) плоскости АВD и АСК

б) плоскости АDС и МВС

в) плоскости ВDК и АDС

г) плоскости МDN и АВD

а) В этом пункте речь идет о двух плоскостях АВD и АСК. Что такое, плоскость АВD - понятно, это плоскость грани. А что такое плоскость АСК? Здесь надо понять, что это плоскость АВС, только по-другому названная, так как точка К лежит на прямой ВN. Ее пересекает прямая АС, а через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Вот названия этой одной и той же плоскости: АВС, АМС, АLC, АСК. Итак, в этом пункте на самом деле речь идет о пересечении плоскостей АВD и АВС. Эти плоскости пересекаются по прямой АВ, потому что и точка А, и точка В принадлежат двум плоскостям - АВD и АВС.

Ответ: АВ.

Напоминание: Для названия плоскости нужно иметь только три точки, которые не лежат на одной прямой.

б) Найти, по какой прямой пересекаются плоскости АDС  и МВС.

Плоскость АDС – это боковая грань пирамиды АDС. Рассмотрим, что собой представляет плоскость МВС. Три точки: и М, и В, и С – лежат в плоскости нижнего основания АВС. Так что плоскость МВС – это плоскость АВС. Значит, линией пересечения является прямая АС, потому что и точка А, и точка С лежат одновременно в двух плоскостях АВС и АDС.

Ответ: АС.

в) Плоскость ВDК совпадает с плоскостью ВDN. И в плоскости ВDN и в плоскости АDС содержатся и точка D, и точка N. Значит, линия пересечения двух плоскостей – прямая DN.

Ответ: DN

г) Обе плоскости МDN и АВD содержат и точку М и точку D. Значит, их линия пересечения – прямая DМ.

Ответ: DМ.

Предыдущая серия задач на треугольную пирамиду касалась пересечения различных двух плоскостей. Следующие задачи будут посвящены пересечению трех плоскостей.

Решение задачи 2

Дана треугольная пирамида АВСD (Рис. 6.). Назовите три разные плоскости, которым принадлежат:

а) точка А

б) точка В

в) точка N

Ответ:

а) АВD, АСD, АВС.

б) ВАС, ВАD, ВСD.

в) NВD, АВС, NМD.

а) Точка А принадлежит следующим трем различным плоскостям: АВD – первая плоскость, АСD – вторая плоскость и АВС – третья плоскость.

Пояснение: означенные три плоскости попарно пересекаются. Пересечение двух плоскостей есть прямая линия, пересечение вторых двух плоскостей – прямая линия. Значит, пересечение всех трех плоскостей – это точка А.

б) Аналогично точка В принадлежит следующим плоскостям: ВАС – нижней грани, ВАD – одной боковой грани и ВСD – второй боковой грани. Это вершина пирамиды. Здесь три плоскости очевидны.

в) Точка N– это внутренняя точка отрезка АС. Каким трем различным плоскостям принадлежит точка N?

Первая плоскость – NВD,  вторая плоскость – АВС и третья плоскость – NМD. Вот три различные плоскости, которые пересекаются в точке N.

Решение задачи 3

Дана треугольная пирамида АВСD (Рис. 6). Через середины N, М, L сторон треугольника АВС проведена плоскость.

Совпадает ли она с плоскостью треугольника? 

Решение:

Рассмотрим плоскость АВС. Точка М принадлежит этой плоскости, потому что этой плоскости принадлежит вся прямая АВ, на которой лежит точка М. Аналогично заключаем, что точка N принадлежит плоскости треугольника и точка L принадлежит плоскости треугольника. Через три точки М, L и N можно провести единственную плоскость. Через три точки А, В, С тоже можно провести единственную плоскость. И эта плоскость одна и та же.

Ответ: совпадает.

Решение задачи 4

Дана треугольная пирамида АВСD (Рис. 7.).

Каково взаимное расположение плоскостей, проходящих через прямые:

а) АВ и ВС, СD и ВС;

б) АВ и ВС, АD и СD?

Решение:

а) По теореме 2, через две пересекающиеся прямые АВ и ВС, проходит плоскость, и притом только одна. Это плоскость АВС. Через вторые две пересекающиеся прямые СD и ВС также по теореме 2 проходит плоскость, и притом только одна. Это плоскость ВСD. Они пересекаются по прямой ВС. 

Ответ: плоскости пересекаются по прямой ВС.

б) АВ и ВС, две прямые, которые пересекаются в точке В. Через них проходит единственная плоскость, плоскость АВС.

АD и СD – две прямые, которые пересекаются в точке D, значит, через них, через прямые АD и СD проходит единственная плоскость АDС. Эти плоскости пересекаются по прямой АС, так как точка А принадлежит обеим плоскостям и точка С принадлежит обеим плоскостям.

Ответ: плоскости пересекаются по прямой АС.

Итоги урока

Итак, стереометрия помогла нам в решении задач в треугольной пирамиде.

Далее мы применим те же знания для решения задач в параллелепипеде.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «urok.1sept.ru‎» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Дана треугольная пирамида АВСD (Рис. 6.). Найти, по какой прямой пересекаются:

а) плоскости DLC и АMN

б) плоскости BLM и ADC

в) плоскости MDC и АDС

2. Дана треугольная пирамида АВСD (Рис. 6.). Назовите три разные плоскости, которым принадлежат:

а) точка M

б) точка D

в) точка C

3. Дана треугольная пирамида АВСD (Рис. 8.). Каково взаимное расположение плоскостей, проходящих через прямые:

а) BL и ВD, AB и AС;

б) АL и AD, АB и BD?

4. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

Задание 12, стр. 10.