11. Решение задач по теме «Многогранники»

Правильная призма и прямой параллелепипед, определение, свойства

Правильная треугольная призма:

• данная призма прямая – боковое ребро перпендикулярно плоскостям оснований;

• в основаниях лежат правильные треугольники.

Задача о вершинах и ребрах призмы

Задача 1

Укажите число плоскостей симметрии у правильной треугольной призмы.

Ответ: 4

Решение:

Пусть  и – середины ребер  и соответственно (рисунок 1). Вершине  соответствует плоскость симметрии . данная плоскость является плоскостью симметрии потому что ребро перпендикулярно по свойствам правильного треугольника и перпендикулярно  по свойствам прямой призмы. Значит ребро перпендикулярно плоскости . Аналогично ребро  перпендикулярно той же плоскости. Так, при выполнении симметрии точка перейдет в точку и наоборот; точка  перейдет в точку  и наоборот; точки  и останутся без изменений. То есть призма переходит сама в себя.

Мы рассмотрели плоскость симметрии относительно вершины , таких вершин три – значит три плоскости симметрии. Четвертая плоскость симметрии проходит через середины боковых ребер (рисунок 2).

Других плоскостей симметрии рассматриваемая призма не имеет, т. к. наличие плоскостей симметрии связано с количеством осей симметрии в основаниях и боковых гранях фигуры.

Прямоугольный параллелепипед:

Определение.

Прямоугольный параллелепипед – это такой прямой параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник. Рис. 3.

• все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками;

• все диагонали равны между собой: ;

• квадрат диагонали равен сумме квадратов всех измерений: ;

• точка пересечения диагоналей делит их пополам.

Задача 2

Докажите, что число вершин любой призмы четно, а число ребер кратно трем.

Решение: пусть задана -угольная призма. Количество вершин призмы равно удвоенному количеству вершин основания, то есть , а такое число кратно двум при любом – мы доказали, что число вершин любой призмы четно.

Число ребер призмы состоит из ребер оснований и боковых ребер. Основания содержат ребер и еще ребер – боковые ребра. Всего призма содержит ребер, что кратно трем при любом – мы доказали, что число ребер любой призмы кратно трем.

Задачи на куб

Напомним, что куб – это частный случай прямоугольного параллелепипеда, все его грани – это квадраты.

Задача 3

– диагональ куба. Найти площадь полной поверхности куба.

Решение:

Пусть ребро куба равно , тогда по свойству прямоугольного параллелепипеда: .

 – это площадь одной грани, куб состоит из шести одинаковых граней, имеем площадь полной поверхности:

Задача 4

В кубе  найти угол между скрещивающимися прямыми  и .

Решение:

Проведем прямую , она параллельна прямой . Значит искомый угол – это угол . Он равен , так как треугольник  равносторонний – его стороны равны как диагонали равных квадратов.

Правильная пирамида, определение, свойства, задача

Определение.

Правильной называется пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр этого многоугольника (рисунок 6).

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему:

Определение.

Апофемой называется высота боковой грани пирамиды.

Задача 5

В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания и высота равны 2. Найти расстояние от центра основания до боковой грани.

Решение:

Пусть задана пирамида с основанием и вершиной . Из условия – квадрат, пусть – точка пересечения его диагоналей, тогда – высота пирамиды. , . Требуется найти расстояния от точки до плоскости . Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра опущенного из заданной точки на плоскость.

Пусть точка – середина . Опустим перпендикуляр на апофему . Докажем, что построенный таким образом отрезок перпендикулярен всей плоскости . Поскольку перпендикулярно всей плоскости , то . Так, есть перпендикуляр к плоскости , его и требуется найти.

Рассмотрим прямоугольный треугольник . В нем  как средняя линия треугольника . Имеем . по условию равно 2. Найдем гипотенузу по теореме Пифагора: .

Найдем площадь рассматриваемого треугольника двумя способами:

.

Задача на прямую призму

Задача 6

Боковое ребро прямой призмы  равно единице. . , – середина . Найти .

Решение:

Для наглядности произведем сечение призмы заданной плоскостью . Для этого проведем параллельно , полученная фигура  и будет искомым сечением (рисунок 8).

Чтобы найти расстояние от точки  до плоскости , нужно опустить из этой точки перпендикуляр к плоскости. Опустим перпендикуляр  к прямой и докажем, что он является перпендикуляром ко всей плоскости .

Из условия: ; ; , отсюда ., т. к. .

Так,  перпендикулярно двум прямым из плоскости сечения : и , эти прямые пересекаются, отсюда  перпендикулярно всей плоскости сечения, значит  – искомое расстояние от точки до плоскости.

Рассмотрим прямоугольный треугольник . в нем  по условию, . Найдем гипотенузу по теореме Пифагора:

.

Запишем площадь треугольника двумя способами:

.

Итак, мы рассмотрели наиболее распространенные задачи на многогранники, уделили внимание пирамиде, призме, прямоугольному параллелепипеду. Также мы вспомнили свойства основных многогранников.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «uztest.ru» (Источник).

2. Интернет-портал «oldskola1.narod.ru» (Источник).

3. Интернет-портал «uztest.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Задача 1: через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна . Найдите ребро куба и его диагональ.

2. Задача 2: диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом . Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, если диагональ основания равна .

3. Задача 3: основание призмы – правильный треугольник . Боковое ребро  образует равные углы со сторонами и . Докажите:

   1. ;

   2.  – прямоугольник.