08. Решение задач по теме «Пирамида»

Решение задачи на четырехугольную пирамиду

Задача 1

Основанием пирамиды является квадрат со стороной 4 см, высота – отрезок . Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

. Прямоугольные треугольники и равны по двум катетам, отсюда . Треугольники и равны по трем сторонам. Отсюда:

– проекция прямой на плоскость , , отсюда имеем прямоугольный треугольник .

В прямоугольном треугольнике найдем по теореме Пифагора гипотенузу:

Найдем площадь рассматриваемого прямоугольного треугольника:

Рассмотрим прямоугольный треугольник и найдем его площадь:

Так, имеем ответ:

.

Свойства правильных многоугольников

Геометрические свойства пирамиды во многом определяются свойствами основания. Рассмотрим эти свойства:

Правильный треугольник (), рис. 2:

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности (), радиус описанной окружности (), высота основания () связаны следующим образом:

; ; .

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный. Выразим из него высоту :

;

.

Квадрат (), рис. 3:

Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и равны;  (это можно найти например из прямоугольного равнобедренного треугольника )

;

;

.

Правильный шестиугольник (), рис. 4:

Чтобы нарисовать правильный шестиугольник, удобно пользоваться следующим алгоритмом (рисунок 4):

Построить окружность (зеленая пунктирная линия); Провести диаметр (синяя пунктирная линия); Отметить середины радиусов построенного диаметра; Провести через середины перпендикуляры (красные пунктирные линии); Получены вершины шестиугольника – построить шестиугольник.

; ; .

Решение обобщенной задачи на правильную треугольную пирамиды

Рассмотрим обобщенную задачу на правильную треугольную пирамиду.

Задача 2

В правильной треугольной пирамиде сторона основания , высота . Найти апофему , боковое ребро , площадь боковой поверхности, тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания, угол между и . Построить общий перпендикуляр к прямым и .

Решение. Проиллюстрируем:

Правильная треугольная пирамида полностью задается двумя элементами, в данном случае стороной основания и высотой. Мы подробно рассмотрели свойства правильного треугольника и определили выражение радиусов вписанной и описанной окружностей через высоту. Так, в прямоугольных треугольниках  и нам известен их общий катет – высота пирамиды , известны и вторые катеты: ; . Можем найти гипотенузы по теореме Пифагора.

Гипотенуза  является искомой апофемой, гипотенуза – боковым ребром пирамиды.

Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Нам необходимо найти тангенс угла наклона бокового ребра к основанию пирамиды. Т. е. нам необходимо найти . Напомним, что тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего ему катета к прилежащему. Имеем:

Осталось найти угол между скрещивающимися прямыми и . Докажем, что этот угол равен . есть проекция наклонной на плоскость . Но (или ) перпендикулярна , отсюда .

Построим общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым и (рис. 6). Очевидно, что точка  – середина ребра . Проведем  перпендикулярно .

Докажем, что .

Так, общим перпендикуляром к рассматриваемым скрещивающимся прямым является отрезок .

Решение нестандартной задачи на тетраэдр

Задача 3

В правильном тетраэдре расстояние между противоположными ребрами равно . Найти ребро тетраэдра.

Правильный тетраэдр – это правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро равно ребру основания. То есть все ребра равны между собой. Обозначим искомую длину ребра за .

Пусть  – середина , – середина . Тогда  – медиана треугольника .  – медиана треугольника . Поскольку эти треугольники равносторонние, медианы являются одновременно высотами.

и – высоты в равных правильных треугольниках и соответственно. Отсюда треугольник равнобедренный.

 – его медиана, проведенная к основанию, а значит, по свойству равнобедренного треугольника  (является одновременно высотой). Аналогично  – медиана в равнобедренном треугольнике , она является высотой и имеем . Отсюда заключаем: .

Рассмотрим треугольник .

– высота в равностороннем треугольнике со стороной , мы её рассматривали в свойствах равностороннего треугольника:

Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника :

;

.

Итак, были рассмотрены типовые задачи на тему «Пирамида», в частности, обобщенные задачи на правильный тетраэдр. Также мы вспомнили некоторые основные геометрические факты.

Список литературы

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

2. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «science.fandom.com» (Источник).

Домашнее задание

1. Задача 1: стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 42, боковые ребра – 75. Найдите площадь поверхности пирамиды.

2. Задача 2: основание пирамиды – прямоугольник. Одна боковая грань перпендикулярна основанию, остальные наклонены под углом . Высота пирамиды – 12 см. Найдите площадь основания.

3. Задача 3: во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?