02. Решение задач по теме «Призма»

Тема и цели урока

На данном уроке будет рассмотрена тема «Решение задач по теме “Призма”».

Повторение определений

Определение. Прямая призма - это такая призма, у которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Рассмотрим треугольную призму (рис. 1). Ребро  перпендикулярно плоскости основания (). Значит, призма – прямая. Значит, все боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания и каждая боковая грань – это прямоугольник.

Определение. Правильной называется такая прямая призма, в основании которой лежит правильный угольник. Тогда, мы имеем правильную угольную призму.

Повторение площади поверхности призмы

1) Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.

2) Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Задача 1

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями и и высотой(рис. 3). Найдите площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно .

Дано:

(рис. 4)

Найти:

Решение:

Рассмотрим трапецию (рис. 5). и – высоты трапеции. Так как трапеция равнобокая, то ,

.

Рассмотрим треугольник и найдем сторону по теореме Пифагора:

Найдем периметр основания.

Применяем формулу для площади боковой поверхности:

Ответ:

Задача 2

Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство проведём на примере треугольной призмы.

Рассмотрим треугольную призму . Построим плоскость перпендикулярного сечения. На ребре выберем точку (рис. 7). Через точку можно проведем перпендикуляр в плоскости этой грани к ребру . Этот перпендикуляр будет перпендикуляром и к , так как прямые и параллельны..

Теперь проведем перпендикуляр перпендикулярно ребру в плоскости грани .

Получаем, что боковое ребро перпендикулярно двум пересекающимся прямым и плоскости . Значит, - перпендикуляр к плоскости .

То есть, построенное сечение перпендикулярно боковому ребру. Надо доказать, что площадь боковой поверхности равняется произведению периметра перпендикулярного сечения  на боковое ребро . То есть, имеем следующую задачу.

Дано: – наклонная призма,

Доказать:

Доказательство:

Любая боковая грань призмы  – это параллелограмм. Рассмотрим грань . – это высота параллелограмма . Поэтому площадь параллелограмма записывается следующим образом:

Аналогично,

,

.

В призме все боковые ребра равны, . Запишем, чему равна площадь боковой поверхности.

Мы показали, что  

. Задача доказана.

Задача 3

Основание призмы – правильный треугольник (рис. 8). Боковое ребро  образует равные острые углы со сторонами основания и . Докажите, что

a) ;

b) грань – прямоугольник.

Дано:  – призма.

,

,

.

Доказать:

a) ;

b) грань – прямоугольник.

Доказательство:

а) Проведём перпендикуляр к плоскости . Из точки опустим перпендикуляры к и к .

  - перпендикуляр к плоскости . – проекция наклонной на плоскость . Так как проекция перпендикулярна прямой из плоскости , то и наклонная перпендикулярна прямой (по теореме о трех перпендикулярах).

– проекция наклонной на плоскость . Так как проекция перпендикулярна прямой из плоскости , то и наклонная перпендикулярна прямой (по теореме о трех перпендикулярах).

Получаем, что треугольники и – прямоугольные. В этих треугольниках гипотенуза – общая и углы и равны. Значит, треугольники и равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников имеем: и .

Рассмотрим прямоугольные треугольники и .  Гипотенуза общая, катеты и равны. Из равенства треугольников получаем равенство углов:.

Так как , то – биссектриса. Треугольник – равносторонний, значит, - и биссектриса, и медиана, и высота. То есть прямая из плоскости треугольника перпендикулярна , а  – это проекция наклонной . Значит, прямая и  перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах.

б) Все боковые ребра между собой параллельны. Мы доказали, что прямая перпендикулярна одному боковому ребру, значит прямая перпендикулярна и остальным боковым ребрам, . А это означает, что параллелограмм является прямоугольником, что и требовалось доказать.

Задача 4

Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол . Найдите:

а) диагональ призмы;

б) угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани;

в) площадь боковой поверхности призмы.

Дано: – квадрат,

.

.

Найти:

а)

б)

в)

Решение:

а) - правильная четырехугольная призма. Это означает, что в её основании лежит квадрат .

Сторона квадрата   по условию равна , тогда диагональ.

Угол между диагональю  и плоскостью основания равен . Угол между диагональю  и плоскостью основания – это угол между прямой  и её проекцией на плоскость , то есть угол , значит, . Так как треугольник прямоугольный, то и угол равен . Значит, треугольник – равнобедренный. Значит, .

Из прямоугольного треугольника находим по теореме Пифагора .

Ответ: .

б) Прямая перпендикулярна всей плоскости . Угол между прямой  и гранью - это угол между прямой  и её проекцией на плоскость . Значит, искомый угол - .

Прямая перпендикулярна всей плоскости , а значит, и прямой . Найдем из прямоугольного треугольника .

Значит,

Ответ:.

в) Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Ответ:.

Итоги урока

Итак, мы повторили теорию и решили некоторые типовые задачи по теме «Призма». На следующем уроке мы перейдём к изучению пирамиды.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «ppt4web.ru» .

Рекомендованное домашнее задание

1. Что можно утверждать о призме, все боковые грани которой – квадраты?

2. Докажите, что не существует многогранника, у которого ровно ребер.

3. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник, диагонали боковых граней призмы . Найдите высоту призмы.

4. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна а и образует с плоскостью основания угол . Найдите площадь поверхности призмы.